równanie różniczkowe 2go i 1go stopnia

[kakapipe]

a)\(y''+y'=6 \sin (4x)+9cos(4x)\)

b)\(y'+2xy=xe^{-x^2}\)

[radagast]

b)\(y'+2xy=xe^{-x^2}\)

\(\frac{dy}{dx} +2xy=xe^{-x^2}\)
\(\frac{dy}{dx} +2xy=0\) - jednorodne
\(\displaystyle \int \frac{dy}{y} =- \int 2xdx\)
\(\ln y=-x^2+C\)
\(y= De^{-x^2}\)
uzmiennijmy stałą
\(y= D(x)e^{-x^2}\)
\(y'= D'(x)e^{-x^2}-2x D(x)e^{-x^2}\)
wstawiając to do równania wyjściowego mamy:
\(D'(x)e^{-x^2}-2x D(x)e^{-x^2}+2xD(x)e^{-x^2}=xe^{-x^2}\)
stąd
\(D'(x)=x\)
czyli
\(D(x)= \frac{1}{2}x^2 +E\)
No to ostatecznie:
\(y= \left( \frac{1}{2}x^2 +E\right) e^{-x^2}\)

[kakapipe]

a to drugiego stopnia?:)

[panb]

A słyszałeś o równaniu charakterystycznym?
Poszukaj, i zastosuj się do procedury - to prosta procedurka i warto ją znać.

Jeśli byłeś wtedy na wagarach, to looknij tu (str 4, 5.8):
http://www.katmat.pb.bialystok.pl/~wyrw ... we_cz2.pdf

[kakapipe]

Wiem, ale robiismy przyklady gdzie po = stało f(x)e^Kx a z sinusami niestety nie robilismy :c

[panb]

Najpierw szukasz rozwiązania równania jednorodnego: \(y''+y'=0 \So r^2+r=0 \So r=0 \vee r=-1\) i rozwiązaniem jest
\(y_0=c_1e^{0x}+c_2e^{-x}=c_1+c_2e^{-x}\)
Drugiej składowej szukamy w postaci \(y_1=A\sin(4x)+B\cos(4x)\)
Policz \(y_1'' \text { i } y_1'\) i wstaw do równania \(y_1''+y_1'=6\sin(4x)+9\cos(4x)\)
Rozwiązaniem końcowym będzie \(y=y_0+y_1\)