Nierówność wykładnicza

[Griks]

zad. 1. Rozwiąż nierówność z niewiadomą x:
a)\(( \frac{1}{32} )^{1- \frac{2}{3} + \frac{4}{9} - \frac{8}{27} + \frac{16}{81} - ... + (-1)^{n} * (\frac{2}{3})^{n} + ...} \le \frac{1}{2^{x^{3}} * 4^{x}}\)

[radagast]

zad. 1. Rozwiąż nierówność z niewiadomą x:
a)\(( \frac{1}{32} )^{1- \frac{2}{3} + \frac{4}{9} - \frac{8}{27} + \frac{16}{81} - ... + (-1)^{n} * (\frac{2}{3})^{n} + ...} \le \frac{1}{2^{x^{3}} * 4^{x}}\)

\(D=R\)
policzmy najpierw \(1- \frac{2}{3} + \frac{4}{9} - \frac{8}{27} + \frac{16}{81} - ... + (-1)^{n} \cdot (\frac{2}{3})^{n} + ...= \frac{1}{1+ \frac{2}{3} }= \frac{3}{5}\)
mamy teraz
\(( \frac{1}{32} )^{ \frac{3}{5} } \le \frac{1}{2^{x^{3}} \cdot 4^{x}}\)
\((2^5 )^{ -\frac{3}{5} } \le \frac{1}{2^{x^{3}} \cdot 4^{x}}\)
\(\frac{1}{8} \le \frac{1}{2^{x^{3}} \cdot 4^{x}}\)
\(2^3 \ge 2^{x^{3}} \cdot 2^{2x}\)
\(2^3 \ge 2^{x^{3}+2x}\)
\(3 \ge x^3+2x\)
\(x^3+2x-3\le 0\)
\((x-1)(x^2+x+3)\le 0\)
\(x \le 1\)