Trudne nierówności wielomianowe i wymierne

[DeltaLimes]

Witam wszystkich użytkowników forum. Zwracam się z prośbą o pomoc z kilkoma nierównościami, których rozwiązanie sprawia mi wiele trudności i po wielu próbach mimo wszystko nie udaje mi się ich rozwiązać. Proszę o pomoc z chociaż jednym z nich:

\(x^{12} - x^9 + x^4 - x + \frac{3}{4} > 0\)
\(\frac{x+6}{x-6} * ( \frac{x-4}{x+4} )^2 + \frac{x-6}{x+6} * ( \frac{x+9}{x-9})^2 > 2 \frac{x^2+36}{x^2-36}\)

[patryk00714]

czy rachunek różniczkowy mieści się w zakresie Twoich możliwości?

[DeltaLimes]

Niestety o rachunkach różniczkowych nic mi nie wiadomo. Jestem w drugiej klasie liceum.

[DeltaLimes]

Dwa pozostałe:


\(\frac{x^2+2x+2}{x+1}\) + \(\frac{x^2-8x+10}{x+4}\) > \(\frac{x^2+4x+6}{x+3}\) + \(\frac{x^2+6x+12}{x+3}\)

\(\frac{(x+1)^4}{x(x^2+1)}\) < \(\frac{128}{15}\)

Przepraszam, że tak oddzielnie, ale nigdy wcześniej nie spotkałem się z takim skryptem.

[Panko]

Taki przykład :
\(\frac{(x+1)^4}{x(x^2+1)} < \frac{128}{15}\) można rozbić na dwie nierówności
( \(x>0\) \(\wedge\) \(15(x+1)^4 < 128x(x^2+1)\) \(\vee\)( \(x<0\) \(\wedge\) \(15(x+1)^4 > 128x(x^2+1)\) )

wtedy trzeba zauważyć za http://www.wolframalpha.com/ , że
\(15(x+1)^4 < 128x(x^2+1)\) można zastąpić przez \((x-3)(x-\frac{1}{3})( ( x-\frac{3}{5})^2+\frac{16}{25})<0\)

czyli trzeba wykonać samodzielnie dzielenie wielomianu \(W(x)= 15(x+1)^4 - 128x(x^2+1)\) przez \(Q(x)=(x-3)(x-\frac{1}{3})\)
Wtedy , poniewaź \(R(x)= ( x-\frac{3}{5})^2+\frac{16}{25})\) jest stale dodatni to dostaniemy alternatywę nierówności
(\(x>0\) \(\wedge\) \((x-3)(x-\frac{1}{3})<0\)) \(\vee\) (\(x<0\) \(\wedge\) \((x-3)(x-\frac{1}{3})>0\))

[DeltaLimes]

Taki przykład :
\(\frac{(x+1)^4}{x(x^2+1)} < \frac{128}{15}\) można rozbić na dwie nierówności
( \(x>0\) \(\wedge\) \(15(x+1)^4 < 128x(x^2+1)\) \(\vee\)( \(x<0\) \(\wedge\) \(15(x+1)^4 > 128x(x^2+1)\) )

wtedy trzeba zauważyć za http://www.wolframalpha.com/ , że
\(15(x+1)^4 < 128x(x^2+1)\) można zastąpić przez \((x-3)(x-\frac{1}{3})( ( x-\frac{3}{5})^2+\frac{16}{25})<0\)

czyli trzeba wykonać samodzielnie dzielenie wielomianu \(W(x)= 15(x+1)^4 - 128x(x^2+1)\) przez \(Q(x)=(x-3)(x-\frac{1}{3})\)
Wtedy , poniewaź \(R(x)= ( x-\frac{3}{5})^2+\frac{16}{25})\) jest stale dodatni to dostaniemy alternatywę nierówności
(\(x>0\) \(\wedge\) \((x-3)(x-\frac{1}{3})<0\)) \(\vee\) (\(x<0\) \(\wedge\) \((x-3)(x-\frac{1}{3})>0\))

Okey. Przeanalizowałem to i nie mam pojęcia skąd wiemy przez jaki wielomian mamy podzielić \(W(x)= 15(x+1)^4 - 128x(x^2+1)\)

Edit: Najbardziej zależy mi na pierwszym przykładzie z pierwszego postu ponieważ miałem takie coś na sprawdzianie. Myślę że powinien być na to jakiś patent, może ze wzorami skróconego mnożenia?

[Przemo10]

Okey. Przeanalizowałem to i nie mam pojęcia skąd wiemy przez jaki wielomian mamy podzielić \(W(x)= 15(x+1)^4 - 128x(x^2+1)\)

Jak masz metodami szkolnymi typowo robić to musisz wszystkie wyrazy podnieść do potęgi i skorzystać z tw o pierwiastkach wymiernych wielomianu i znależć najpierw wszystkie wymierne ( możesz ew zgadnąć taki pierwiastek ) potem wykjonać samodzielnie jakieś dzielenie i zobaczyć co wyjdzie
http://www.zadania.info/d25/24001

[Przemo10]

Edit: Najbardziej zależy mi na pierwszym przykładzie z pierwszego postu ponieważ miałem takie coś na sprawdzianie. Myślę że powinien być na to jakiś patent, może ze wzorami skróconego mnożenia?

To się często zadanie pojawia(może nie na maturze, ale napewno w zbiorku H.Pawłowskiego jest) ,bo tu nie ma żadnych pierwiastków i to trzeba pokazać

\(x^{12}-x^9+x^4-x+ \frac{3}{4}>0\)
No to tak , dla \(x \in \left(- \infty ;0 \right>\) oraz dla \(x \in \left<1; \infty \right)\) spróbój sam pokazać , że nie ma tam pierwiastków. Celowo te dwa przedziały zapisałem osobno
Pokażę trudniejszą część dla \(\left( 0;1\right)\) - trudniejsza bo tu trzeba użyć wzorów skróconego mnożenia .
\(x^{12}-x^9+x^4-x+ \frac{3}{4}= \left( x^6- \frac{1}{2}x^3 \right)^2- \frac{x^6}{4} +x^4-x^2+ \left( x- \frac{1}{2} \right) ^2+ \frac{1}{2}=
\\

= \left( x^6- \frac{1}{2}x^3 \right)^2- \frac{x^6}{4} +(x^2- \frac{1}{2})^2 + \left( x- \frac{1}{2} \right) ^2+ \frac{1}{4} \ge \frac{-x^6}{4}+ \frac{1}{4}>0\)
Ostatnia nierówność z założenia o przedziale \((0;1)\)

[Galen]

\(x^{12}-x^9+x^4-x>- \frac{3}{4}\\x^9(x^3-1)+x(x^3-1)>- \frac{3}{4}\\(x^3-1)(x^9+x)>- \frac{3}{4}\\x(x^8+1)(x^3-1)>-\frac{3}{4}\\x(x-1)(x^2+x+1)(x^8+1)>-\frac{3}{4}\)
Dla x<0 lewa strona nierówności \(x(x-1)(x^2+x+1)(x^8+1)\) jest dodatnia (-*-*+*+>0),
czyli nierówność jest spełniona.
Dla x>1 nierówność jest spełniona,bo wszystkie czynniki są dodatnie.
Dla x=1 oraz dla x=0 lewa strona przyjmuje wartość zero ,czyli nierówność
jest spełniona.
Na przedziale (0;1) wartość lewej strony nierówności \(x(x-1)(x^2+x+1)(x^8+1)>- \frac{3}{4}\) obliczasz z iloczynu x(x-1) i dwóch czynników dodatnich,czyli wartość ta zależy od x(x-1).
Ale x(x-1) ma najmniejszą wartość dla x=1/2 i wynosi ona \((- \frac{1}{4})\),
a wartość pozostałych czynników jest poniżej 3 ,co pozwala przyjąć że nierówność
jest spełniona.

[DeltaLimes]

Okey. Przeanalizowałem to i nie mam pojęcia skąd wiemy przez jaki wielomian mamy podzielić \(W(x)= 15(x+1)^4 - 128x(x^2+1)\)

Jak masz metodami szkolnymi typowo robić to musisz wszystkie wyrazy podnieść do potęgi

Mógłby ktoś wytłumaczyć dlaczego należy wszystkie wyrazy podnieść do potęgi?

A co do dwóch tłumaczeń wyżej pierwszego kompletnie nie rozumiem, a drugie prawie rozumiem. No cóż, chyba jestem debilem. Dzięki mimo wszystko za tłumaczenie.

Edit:

Dlaczego akurat te przedziały i w jaki sposób to udowodnić? :/

\(x^{12}-x^9+x^4-x+ \frac{3}{4}>0\)
No to tak , dla \(x \in \left(- \infty ;0 \right>\) oraz dla \(x \in \left<1; \infty \right)\) spróbój sam pokazać , że nie ma tam pierwiastków. Celowo te dwa przedziały zapisałem osobno

Wytłumaczy ktoś te przekształcenia krok po kroku? Nie rozumiem skąd to się bierze.

\(x^{12}-x^9+x^4-x+ \frac{3}{4}= \left( x^6- \frac{1}{2}x^3 \right)^2- \frac{x^6}{4} +x^4-x^2+ \left( x- \frac{1}{2} \right) ^2+ \frac{1}{2}=
\\

= \left( x^6- \frac{1}{2}x^3 \right)^2- \frac{x^6}{4} +(x^2- \frac{1}{2})^2 + \left( x- \frac{1}{2} \right) ^2+ \frac{1}{4} \ge \frac{-x^6}{4}+ \frac{1}{4}>0\)
Ostatnia nierówność z założenia o przedziale \((0;1)\)

[Przemo10]

Mógłby ktoś wytłumaczyć dlaczego należy wszystkie wyrazy podnieść do potęgi?

A dlatego, że to najłatwiej itak zrobići najszybciej . Z tej pozycji ani nie widzisz pierwiastka wielomianu, ani łatwo nie podzielisz wielomianu. Po podniesieniu do potęgi i redukcji wyrazów , będziesz mógł skorzystać z twierdzenia o pierw. wymiernych( w poscie powyżej moim dostałeś link do poradnika , gdzie możesz o nicm przeczytać, przyklad zastosowania nawet tam jest) i podzielić wielomian z w. Bezouta by rozłożyć wielomian na czynniki.

Odnośnie dwóch pozostałych .
Jeśli \(x \in (- \infty ;0\)) to masz sumę liczb dodatnich która jest dodatnia.
Dla \(x=0\) i\(x=1\) sprawdzasz bezpośrednio przez podstawienie
Dla \(x>1\) Masz nierówności , że\(x^{12}>x^9\) oraz \(x^4>x\)Stad \(x^{12}-x^9>0\) oraz \(x^4-x>0\). Czyli po dodaniu \(x^{12}-x^9+x^4-x>0\), czyli także \(x^{12}-x^9+x^4-x+\frac{3}{4}>0\)
Odnośnie przedziału \((0;1)\) to początkową część możesz samodzielnie sprawdzić podnosząc odpowiednie wyrażenia do kwadratu i zauważając , że się coś skróci . Kolejna nierówność wynika z faktu, że kwadrat liczby jest liczbą nieujemną. Stąd pierwsza nierówność.
Jak dojdziesz do miejsca \(\ge \frac{1}{4} - \frac{x^6}{4}\) to zauważ, że to jest to samo co \(\frac{1-x^6}{4}\) i teraz ponieważ \(x \in (0;1)\) to \(x^6\) także należy do \((0;1)\), czyli w szczegółności dla tego przedziału \(x^6\) będzie zawsze mniejszy od \(1\) tzn \(x^6<1\), czyli \(1-x^6>0\)
Jak coś dalej nie rozumiesz, pomyśl chwilę a potem pokaż dokładnie miejsce w którym coś jest nie jasne.

[Przemo10]

Ale x(x-1) ma najmniejszą wartość dla x=1/2 i wynosi ona \((- \frac{1}{4})\),
a wartość pozostałych czynników jest poniżej 3 ,co pozwala przyjąć że nierówność
jest spełniona.

W tym problem , że to ściema , weź x=0,9
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%2 ... or+x%3D0.9

Bo w tym problem , że przez wierzchołek paraboli tego nie oszacujesz.
Oczywiście możesz powiedzieć, że jest mniejsze nie od \(3\) ale od\(6\)
To zadanie spotykałem kiedyś na konkursach lokalnych nie pamiętam czy w gimnazjum czy 1.LO, ale i w zbiorku linii ponadstandardowej dla kl 1 LO H. Pawłowsiego

[DeltaLimes]

No dobra. Tą nierówność 12 stopnia zostawię sobie na jakiś spokojniejszy dzień do przeanalizowania, bo na mój mózg to niezły orzech do zgryzienia. Po prostu nie posługuję się tymi wszystkimi twierdzeniami z taką swobodą jak wy. Powrócę może do tego przykładu gdzie miałem "podnieść do kwadratu wszystkie wyrazy":
\(W(x)=15(x+1)^4−128x(x^2+1)\)
Czy nie łatwiej będzie podnieść do potęg, wymnożyć i wtedy zredukować? W tej chwili mam wielomian 4-tego stopnia, a wy mówicie o podnoszeniu jeszcze wszystkiego do kwadratu? W jaki sposób ma to pomóc? Będę miał wielomian ósmego stopnia. Czy coś źle zrozumiałem?

[Przemo10]

NIc nie pomoże ,bo napisałem trochę nieściślę, chodziło mi o podniesienie do potęgi czwartej wyrażenia \(x+1\) a potem zredukowanie i skorzystania z tw o wymiernych pierwiastkach wielomianu, czyli tak jak ty napisałeś