Założenia w zadaniach

[piekus1k]

Mam pytanie dotyczące działania założeń.

Niech będzie do policzenia taki przykład:
\(\sqrt{1-|x-2|} = x-2\)

Wyznaczam na początku dziedzinę czyli iksy wśród których będę szukał tych spełniających równanie.
Mam więc założenie: \(1-|x-2| \ge 0\) co po rozwiązaniu daje \(x \in <1;3>\)

Chciałbym podnieść całe równanie stronami do kwadratu, lewa strona jest zawsze dodatnia, ale prawa nie.
Więc muszę zrobić założenie \(x-2>0\) co daje że \(x>2\).
I tutaj mam pytanie.
Co tak na prawdę oznacza zrobienie takiego założenia?
Chodzi o to że od tego miejsca obchodzą mnie absolutnie wszystkie \(x>2\), czy że te iksy które są większe od dwa, ale tylko spośród tych wyznaczonych w dziedzinie(inaczej mówiąc część wspólna tego założenia z dziedziną czyli \(x \in(2;3>\))?

[Galen]

Masz od razu dwa założenia:
Pierwiastek jest nieujemny \(x-2\ge 0\) i pod pierwiastkiem może być tylko wartość
nieujemna \(1-|x-2|\ge 0\)
Zwracam uwagę na spójnik "i" oznacza on,że muszą być spełnione jednocześnie oba warunki.
\(x\ge 2\;\;\;i\;\;\;1\le x\le 3\\czyli\\x\in <2;3>\)
I w tym przedziale podnosisz obie strony do kwadratu ,no i liczysz x.
Gdy wyliczysz dwa rozwiązania,to musisz wybrać tylko to,które
jest w przedziale <2;3>.

[piekus1k]

Okej, czyli generalnie gdy podczas rozwiązywania z jakichś powodów chcę dołożyć założenie to oznacza to że od tego miejsca biorę część wspólną nowego założenia z wszystkimi pozostałymi założeniami i rozwiązuję zadania dla tego przedziału?

[Galen]

Masz rację,ale pamiętaj jeszcze że jeśli warunki są połączone spójnikiem "lub" to wybierasz
sumę otrzymanych zbiorów.
Przykład:
\(|x-3|>2\\x-3>2\;\;\;lub\;\;\;x-3<-2\\x>5\;\;\;lub\;\;\;\;x<1\\odp.\\x\in (-\infty;1) \cup (5;+ \infty )\)

[piekus1k]

Chciałbym jeszcze uzupełnić swoją wiedzę i mam następujące pytanie, bo nie do końca rozumiem ten powyższy zapis, tzn. wiem o co chodzi ale nie mogę tego jakoś za bardzo przetrawić...

Czym różnią się dwa poniższe zapisy rozwiązania równania \(\sqrt{1-|x-2|} +2-x= 0\)


Pierwszy:
Zaczynam od dziedziny i zapisuje ją sobie gdzieś z boku, mam więc D: \(x \in <1;3>\)
\(\sqrt{1-|x-2|}+ 2-x= 0\)

\(\sqrt{1-|x-2|} = x-2\) /\(^2\) zał. \(x \ge 2\)

\(1-|x-2| = x^2 -4x +4\)

\(|x-2| = -x^2 +4x -3\)/ zał. \(-x^2+4x-3 \ge 0 \So x \in <1;3>\)

\(x-2=-x^2 +4x -3 \vee x-2=x^2 -4x +3\)

\(x \approx 2,62 \vee x \approx 0,38 \vee \approx 3,62 \vee \approx 1,38\)

sprawdzam te cztery iksy ze wszystkimi założeniami po drodze i w gruncie rzeczy mam ostateczną odpowiedź: \(x \approx 2,62\)

Drugi sposób:
Wyznaczam dziedzinę czyli mam \(x \in <1;3>\)
zatem:
\(\sqrt{1-|x-2|} +2-x= 0 \iff \begin{cases} \sqrt{1-|x-2|} +2-x= 0 \\ x \in <1;3> \end{cases} \iff \begin{cases} \sqrt{1-|x-2|} = x-2 \\ x \in <1;3> \\ x \ge 2 \end{cases}\iff\)

\(\begin{cases} 1-|x-2| = x^2 -4x +4 \\ x \in <2;3> \end{cases} \iff \begin{cases} |x-2| = -x^2 +4x -3 \\ x \in <2;3> \end{cases} \iff\)

\(\begin{cases} x \in <2;3> \\ x-2=-x^2 +4x -3 \vee x-2=x^2 -4x +3 \end{cases} \iff \begin{cases} x \in <2;3> \\ x \approx 2,62 \vee x \approx 0,38 \vee \approx 3,62 \vee \approx 1,38 \end{cases}\)

\(\iff x \approx 2,62\)


Oba sposoby to rozwiązywanie równania metodą równań równoważnych z tym że w pierwszym sposobie trudno moim zdaniem postawić znaki równoważności, w drugim udaje się to bez problemu.
Weźmy chociażby ten fragment z pierwszego sposobu:
\(\sqrt{1-|x-2|} = x-2 \iff 1-|x-2| = x^2 -4x +4\)
To nie jest samo w sobie prawdą, więc nie mógłbym postawić znaku równoważności, chyba że przyjmę iż obowiązuje tutaj(po znaku równoważności) koniunkcja wszystkich poprzednich założeń(łącznie z tym że \(x>2\)), natomiast jeśli zapisalibyśmy to w konwencji drugiego sposobu mamy wszystko pięknie od razu:
\(\begin{cases} \sqrt{1-|x-2|} = x-2 \\ x \in <1;3> \end{cases} \iff \begin{cases} \sqrt{1-|x-2|} = x-2 \\ x \in <1;3> \\ x \ge2 \end{cases} \iff \begin{cases} 1-|x-2| = x^2 -4x +4 \\ x \in<1;3> \\ x \ge 2 \end{cases}\)

W takim razie, chciałbym zadać pytanie.
Czy sposób pierwszy jest po prostu niczym innym jak skróconym(mniej przepisywania) zapisem rozumowania z bardziej formalnego sposobu drugiego, a założeń nie pisze się ze spójnikiem 'i' w każdym przejściu (linijce), lecz po prostu przyjmuje się że w danym miejscu obowiązują koniunkcja wszystkich poprzednich założeń?

[Przemo10]

Pierwszy sposób to "Metoda analizy starożytnych"( poszukaj w google) polegająca na tym że prawą stronę równania oznaczasz jako funkcję \(f(x)\) , lewą jako \(g(x)\) i rozważasz równość tych funkcji . zakładasz że istnieje taka liczba rzeczywista \(a\) będąca rozwiązaniem równania \(f(x)=g(x)\). W szczególności po podniesieniu do kwadratu i innych nielegalnych operacjach też będzie spełniać to równanie. Doprowadzając rachunki do końca , zostają ci tylko kandydaci do rozwiązaniań i wśród tych sprawdzasz.

Drugi sposób, to zauważyłeś wszystkie konieczne założenia potrzebne do rozwiązania równania i rozwiązujesz je w dziedzinie ograniczonej do wyznaczonego przedziału. Jednak tak łatwo zawsze nie musi być . Wystarczy jakbyś wziął zamiast funkcji \(g(x)=x-2\)funkcje \(g_2(x)=x^3+x+1\). Wówczas nie jesteś w stanie dokładnie wyznaczyć założenia po prawej stronie, tzn nierówności \(x^3+x+1 \ge 0\) i jesteś "skazany" na metodę pierwszą. Chyba, że coś innego uda się wymyślić

[piekus1k]

Okej, ale ja widzę olbrzymie podobieństwo między moim pierwszym i drugim rozwiązaniem. Wydaje mi się że pierwsze to także metoda równań równoważnych, dzięki temu że po drodze robię założenia, z tym że jest to mniej czytelne niż drugi zapis.
Mylę się?

[Przemo10]

Nie wiem czy teraz edytowałeś ale wcześniej było coś innego napisane chyba edytowałeś, ale na tą chwilę chodzi tylko o kwestię zapisu.
Różnice masz tylko w tym , czy załozenia pisać w klamrach czy też nie ,możesz pisać zarówno 1 jak i drugim to bez różnicy , tylko w pierwszym możesz zapomnieć na końcu założeń, za to oszczędzasz miejsce na kartce papieru, A w drugim po dopisaniu znaku równoważności wypadałoby chociaż na początku uzasadnić dlaczego tak dopisujesz,

Ale ogólnie to się nie mylisz

[piekus1k]

Nic nie edytowałem(może spojrzałeś na posty wyżej? Nieważne.) w każdym razie odpowiedziałeś mi teraz na pytanie o które mi chodziło, za co Ci bardzo dziękuję

Pozdrawiam