Dowód z nierównością

[janwojcikowski]

Wykaż, że nierowność \[\sqrt[6]{\frac{a^6+b^6}{2}}\geqslant \sqrt[3]{\frac{a^3+b^3}{2}}\] jest spełniona przez wszystkie liczby rzeczywiste a i b.

Rozwiązanie w kluczu polega na obustronnym podniesieniu do potęgi 6 i zwinięciu we wzór skróconego mnożenia. Nie rozumiem na jakiej podstawie mogę podnieść do potęgi szóstej prawą stronę nierówności skoro może być ona ujemna lub dodatnia.

[janusz55]

\( \sqrt[6]{\frac{a^6+b^6}{2}}\geqslant \sqrt[3]{\frac{a^3+b^3}{2}}\ \ |^6\)

\( \frac{a^6 +b^6}{2} \geq \left(\frac{a^3+b^3}{2}\right)^2\)

\( \frac{a^6 + 2a^3b^3 +b^6 -2a^3b^3}{2} \geq \frac{(a^3+b^3)^2}{4} \)

\( \frac{(a^3+b^3)^2}{2} - a^3b^3 \geq \frac{(a^3+b^3)^2}{4} \)

\( \frac{(a^3+b^3)^2}{4} - a^3b^3 \geq 0.\)

\(\frac{a^6 + 2a^3b^3 +b^6 -4a^3b^3}{4} \geq 0\)

\( \frac{a^6 -2a^3b^3 +b^6}{4} \geq 0 \)

\( \frac{(a^3 -b^3)^2}{4} \geq 0, \ \ a,b \in \rr.\)

\(\Box \)

[janwojcikowski]

Nie rozumiem z jakiego powodu możemy podnieść nierówność obustronnie do parzystej potęgi, skoro nie mamy pewności że obie strony są tego samego znaku.

[radagast]

Lewa strona jest dodatnia.
Jęsłi prawa jest ujemna , to nierówność jest prawdziwa, jeśli nie to podnosimy obie strony do parzystej potęgi (bo obie strony są dodatnie)

[Jerry]

Jeżeli wykazalibyśmy, że nierówność \[\sqrt[6]{\frac{|a|^6+|b|^6}{2}}\geqslant \sqrt[3]{\frac{|a|^3+|b|^3}{2}}\] jest spełniona przez wszystkie liczby rzeczywiste \(a\) i \(b\) oraz zauważylibyśmy, że \[|x|^6=x^6,\ |x|^3\ge x^3\]
to rozwieją się Twoje wątpliwości

Pozdrawiam

[janusz55]

Przykłady

\( 1^{o}\)
\( \sqrt[6]{\frac{(-2)^6 + (-3)^6}{2}} \geq \sqrt[3]{\frac{(-2)^3 + (-3)^3}{2}}. \) - PRAWDA

Po podniesieniu do potęgi szóstej:

\( \frac{(-2)^6 + (-3)^6}{2} \geq \left(\frac{(-2)^3 + (-3)^3}{2}\right)^2. \) - PRAWDA

\(2^{o}\)
\( \sqrt[6]{\frac{(2)^6 + (-3)^6}{2}} \geq \sqrt[3]{\frac{(2)^3 + (-3)^3}{2}}. \) - PRAWDA

Po podniesieniu do potęgi szóstej

\( \frac{(2)^6 + (-3)^6}{2} \geq \left(\frac{(2)^3 + (-3)^3}{2}\right)^2. \) - PRAWDA

\(3^{o}\)
\( \sqrt[6]{\frac{(-2)^6 + (3)^6}{2}} \geq \sqrt[3]{\frac{(-2)^3 + (3)^3}{2}}. \) - PRAWDA

Po podniesieniu do potęgi szóstej

\( \frac{(-2)^6 + (3)^6}{2} \geq \left(\frac{(-2)^3 + (3)^3}{2}\right)^2. \) - PRAWDA

\( 4^{o}\)
\( \sqrt[6]{\frac{(2)^6 + (3)^6}{2}} \geq \sqrt[3]{\frac{(2)^3 + (3)^3}{2}}. \) - PRAWDA

Po podniesieniu do potęgi szóstej:

\( \frac{(2)^6 + (3)^6}{2} \geq \left(\frac{(2)^3 + (3)^3}{2}\right)^2. \) - PRAWDA

[janwojcikowski]

Dziękuję za pomoc.