Oblicz 111 wyraz ciągu

[gucio102]

Ciąg an określony jest w następujący sposób: a1=3 , a2=5 , a(n+1)= \(\frac{an}{a(n-1)}\) dla n \(\ge\) 2.
Wyznacz a111.

[radagast]

Ciąg an określony jest w następujący sposób: a1=3 , a2=5 , a(n+1)= \(\frac{an}{a(n-1)}\) dla n \(\ge\) 2.
Wyznacz a111.

pewnie miało być tak:
\(a_1=3 , a_2=5 , a_{n+1}= \frac{a_n}{a_{n-1}} \ dla\ n \ge 2.\)
czyli jest to po prostu ciąg geometryczny o pierwszym wyrazie \(3\) i ilorazie \(\frac{5}{3}\)
no to \(a_{111}=3 \cdot \left( \frac{5}{3} \right)^{110}\) i on jest kosmicznie duży

[gucio102]

W tym sęk ,że muszę zakodować pierwsze trzy cyfry rozwinięcia dziesiętnego wyniku

[radagast]

Co masz na myśli pisząc "zakodować" ?

[gucio102]

W arkuszach maturalnych są zadania kodowane to znaczy ,że należy wpisać o co proszą w prostokąciki ,ale to na pewno wiesz. W tym zadaniu proszą o pierwsze trzy cyfry rozwinięcia dziesiętnego wyniku ,które według odpowiedzi to 166 i chciałabym zrozumieć jak im to wyszło.

[irena]

Ciąg an określony jest w następujący sposób: a1=3 , a2=5 , a(n+1)= \(\frac{an}{a(n-1)}\) dla n \(\ge\) 2.
Wyznacz a111.

pewnie miało być tak:
\(a_1=3 , a_2=5 , a_{n+1}= \frac{a_n}{a_{n-1}} \ dla\ n \ge 2.\)
czyli jest to po prostu ciąg geometryczny o pierwszym wyrazie \(3\) i ilorazie \(\frac{5}{3}\)
no to \(a_{111}=3 \cdot \left( \frac{5}{3} \right)^{110}\) i on jest kosmicznie duży

Ależ to nie jest ciąg geometryczny!
Byłby, gdyby było:
\(a_{n+1}\cdot a_{n-1}=a_n^2\)

A w zadaniu jest:
\(a_{n+1}\cdot a_{n-1}=a_n\)

Tutaj wyrazy ciągu:
\(a_1=3\\a_2=5\\a_3=\frac{5}{3}\\a_4=\frac{1}{3}\\a_6=\frac{1}{5}\\a_7=\frac{3}{5}\\a_8=3\\a_9=5\\a_{10}=\frac{5}{3}\\.\\.\\.\)

Ciąg ten składa się z powtarzających się ciągów sześciowyrazowych.
\(111:6=18,\ \ reszta=3\\a_{111}=a_3=\frac{5}{3}=1,666...\)

Zatem zakodować trzeba \(166\)