Ciągi

[amberxx]

Dany jest ciąg \((a_n)\), w którym \(a_3=2 \frac{1}{2}\) oraz \(a_{n+1}=1+ \frac{1}{a_n}\) dla \(n \in \nn -\){0}. Oceń, czy podane zdania są prawdziwe, czy fałszywe.

a. \(a_2= \frac{2}{3}\)
b. Wszystkie wyrazy ciągu są dodatnie.
c. \(a_4= \frac{7}{5}\)

Prosiłabym też o jakieś obliczenia, jak sprawdzić, że \(a_2= \frac{2}{3}\)

[Galen]

\(a_{n+1}=1+ \frac{1}{a_n}\\ \frac{1}{a_n}=a_{n+1}-1\\a_n= \frac{1}{a_{n+1}-1}\)
Masz \(a_3= \frac{5}{2}\\czyli\\a_{2+1}= \frac{5}{2}\\a_2= \frac{1}{ \frac{5}{2}-1 }= \frac{1}{ \frac{3}{2} }= \frac{2}{3}\)
b jest fałszywe,bo wyraz pierwszy jest ujemny
\(a_1= \frac{1}{a_2-1}= \frac{1}{ \frac{2}{3}-1 }=-3\)
c)
\(a_4=1+ \frac{1}{a_3}=1+ \frac{2}{5}= \frac{7}{5}\)
Odp.a i c prawdziwe.