Ciąg geometryczny

[tyk3]

Witam. Mam zadanie :
Dany jest nieskończony ciąg geometryczny ( an ) określony wzorem:

an = \(\frac{3}{( \sqrt{2})^n }\) dla n = 1,2,3,...

Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa:

I tutaj jest podanych kilka odpowiedzi. Poprawna odpowiedź to \(\frac{3}{ \sqrt{2}-1 }\)

Biorę wzór na sumę ciągu geometrycznego:
Obliczam a1 i a2 a nastepnie q

a1 = \(\frac{3}{ \sqrt{2} }\) q = \(\frac{1}{ \sqrt{2} }\)

Sn = a1 \(\cdot \frac{1-q^2}{1-q}\) = \(\frac{3-3 \cdot \frac{1}{ \sqrt{2} ^n } }{ \sqrt{2}-1 }\)

i teraz pytanie do was, bo sprawdziłem jak powinno się rozwiązać to zadanie i okazuje się, że jest coś takiego jak szereg geometryczny i wzór na sumę jego wyrazów. Średnio rozumiem ten szereg, więc czy gdybym robił to zadanie na logikę, czyli tak jak tutaj ( podstawił do wzoru na sumę ciągu geometrycznego i zauważył, że mianownik dąży do 3 ) moje rozumowanie byłoby poprawne? Pozdrawiam

[Galen]

Zastosowany przez Ciebie wzór dotyczy ciągu o skończonej liczbie wyrazów,a w zadaniu
liczba wyrazów jest nieskończona.Dobrze jest zauważyć,że iloraz ciągu \(q= \frac{1}{ \sqrt{2} }\) podnoszony do bardzo wielkich potęg staje się coraz mniejszy.
\(\Lim_{n\to \infty }( \frac{1}{ \sqrt{2} } )^n=0\)
To oznacza,że przy nieskończenie wielkich wykładnikach potęgi otrzymuje się wielkość
bliską zera.
Wstaw więc za \(q^n\) liczbę zero i wtedy otrzymasz wzór na szukaną sumę.
\(S= \Lim_{n\to \infty }S_n= \Lim_{n\to \infty }a_1 \cdot \frac{1-q^n}{1-q}=a_1 \cdot \frac{1-0}{1-q}\\ostatecznie \;jest\\
S= \frac{a_1}{1-q}= \frac{ \frac{3}{ \sqrt{2} } }{1- \frac{3}{ \sqrt{2} } }\)
mnożysz górę i dół przez pierwiastek z 2 i masz wartość sumy (nazwanej sumą szeregu)
\(S= \frac{3}{ \sqrt{2}-1 }\)