1. Ciąg \((a_n)\) jest skończony. Zbadaj montoniczność tego ciągu, jeśli:
\(a_n=\)(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5), gdzie \(n \in {1,2,3,4,5}\)
2. Zbadaj monotonicznośc nieskończonego ciągu, jeśli
\(a_n=n \cdot 2^n\)
c. arytmetyczny
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
- eresh
- Guru
- Posty: 16825
- Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
- Podziękowania: 6 razy
- Otrzymane podziękowania: 10381 razy
- Płeć:
Re: c. arytmetyczny
\(a_1=0\\assa pisze:1. Ciąg \((a_n)\) jest skończony. Zbadaj montoniczność tego ciągu, jeśli:
\(a_n=\)(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5), gdzie \(n \in {1,2,3,4,5}\)
a_2=0\\
a_3=0\\
a_4=0\\
a_5=0\\\)
ciąg jest stały
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę
- eresh
- Guru
- Posty: 16825
- Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
- Podziękowania: 6 razy
- Otrzymane podziękowania: 10381 razy
- Płeć:
Re: c. arytmetyczny
assa pisze: 2. Zbadaj monotonicznośc nieskończonego ciągu, jeśli
\(a_n=n \cdot 2^n\)
\(\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(n+1)2^{n+1}}{n\cdot 2^n}=\frac{2(n+1)}{n}=2+\frac{2}{n}>1\)
ciąg jest rosnący
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę
- eresh
- Guru
- Posty: 16825
- Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
- Podziękowania: 6 razy
- Otrzymane podziękowania: 10381 razy
- Płeć:
Re: c. arytmetyczny
monotoniczność możemy określić na dwa sposoby:
a) przez różnicę
\(a_{n+1}-a_n<0\) 0 ciąg malejący
\(a_{n+1}+a_n>0\) - ciąg rosnący
b) przez iloczyn
\(\frac{a_{n+1}}{a_n}<1\) - ciąg malejący
\(\frac{a_{n+1}}{a_n}>1\) - ciąg rosnący
a) przez różnicę
\(a_{n+1}-a_n<0\) 0 ciąg malejący
\(a_{n+1}+a_n>0\) - ciąg rosnący
b) przez iloczyn
\(\frac{a_{n+1}}{a_n}<1\) - ciąg malejący
\(\frac{a_{n+1}}{a_n}>1\) - ciąg rosnący
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę
- eresh
- Guru
- Posty: 16825
- Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
- Podziękowania: 6 razy
- Otrzymane podziękowania: 10381 razy
- Płeć:
Re: c. arytmetyczny
jeśli jednak wolisz różnicą:
\(a_{n+1}-a_n=(n+1)\cdot 2^{n+1}-n\cdot 2^n=2(n+1)\cdot 2^n-n\cdot 2^n=2^n(2n+2-n)=2^n(n+2)>0\)
ciąg jest rosnący
\(a_{n+1}-a_n=(n+1)\cdot 2^{n+1}-n\cdot 2^n=2(n+1)\cdot 2^n-n\cdot 2^n=2^n(2n+2-n)=2^n(n+2)>0\)
ciąg jest rosnący
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę
-
- Guru
- Posty: 18457
- Rejestracja: 17 sie 2008, 15:23
- Podziękowania: 4 razy
- Otrzymane podziękowania: 9161 razy
Jeśli chcesz sprawdzić,która liczba dodatnia jest większa,to czasem prościej wywnioskować z ich dzielenia.
\(x=y\;\;\;\;\;to\;\;\;\; \frac{x}{y}=1\\natomiast\\x>y\;\;\;\;\;\;to\;\;\;\; \frac{x}{y}>1\\jeśli\\x<y\;\;\;\;to\;\;\; \frac{x}{y}<1\)
Możesz też zastosować odejmowanie:
\(a_{n+1}-a_n=(n+1)2^{n+1}-n2^n=(n+1) \cdot 2^n \cdot 2-n \cdot 2^n=\\=n \cdot 2^n \cdot 2+2^n \cdot 2-n \cdot 2^n= (n+2) \cdot 2^n>0\)
W przypadku silni i postaci wykładniczych dzielenie jest łatwiejsze...
\(x=y\;\;\;\;\;to\;\;\;\; \frac{x}{y}=1\\natomiast\\x>y\;\;\;\;\;\;to\;\;\;\; \frac{x}{y}>1\\jeśli\\x<y\;\;\;\;to\;\;\; \frac{x}{y}<1\)
Możesz też zastosować odejmowanie:
\(a_{n+1}-a_n=(n+1)2^{n+1}-n2^n=(n+1) \cdot 2^n \cdot 2-n \cdot 2^n=\\=n \cdot 2^n \cdot 2+2^n \cdot 2-n \cdot 2^n= (n+2) \cdot 2^n>0\)
W przypadku silni i postaci wykładniczych dzielenie jest łatwiejsze...
Wszystko jest trudne,nim stanie się proste.