Ciagi arytmetyczne

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
gosia979
Często tu bywam
Często tu bywam
Posty: 181
Rejestracja: 26 gru 2009, 13:39
Podziękowania: 233 razy

Ciagi arytmetyczne

Post autor: gosia979 »

Pomocy!!!\(Pomocy\)

zad. 1 Oblicz wyrazy a1 i a10 oraz sume s10 ciagu arytmetycznego an:
a)a6=1 i a8=3
b)a2=12 i a4=0


zad. 2 Oblicz sume wszystkich liczb naturalnych mniejszych od 100, których:
a) reszta z dzielenia przez 5 jest równa 3
b) reszta z dzielenia przez 6 jest równa 4 lub 5


zad. 3 Zbadaj monotonicznosc ciagu: (tutaj to jest na kresce ulamkowej, wiec jak cos to ":" oznacza kreske ulamkowa)
a)an=(3n-2): (3n+1)
b)an=(4n+1): (3n+1)
c)an=(2-3n): (4n-5)
d)an=(4n-2n^2): (2n^2 -1) - "^2" - oznacza do potegi drugiej ?


zad. 4 Wyznacz liczby:
a) a,b tak, aby liczby (1,a,b,10) tworzyly ciag arytmetyczny
b)a,b,c tak, aby liczby (2,a,b,c,100) tworzy ciąg arytmetyczny


zad. 5 Wyznacz wzór ogólny ciągu arytmetycznego an:
a)a6=20 i a10=4
b)a3=-9 i a15=-3
c)a5=4 i a21 = 8
d)a3=4 i a5=2


zad. 6
Dlugosci bokow trojkata prostokatnego tworza ciag arytmetyczny o r=3. Oblicz obwod tego trojkata.
irena
Guru
Guru
Posty: 22300
Rejestracja: 10 paź 2009, 19:08
Otrzymane podziękowania: 9858 razy
Płeć:

Post autor: irena »

1.
a)

\(a_8-a_6=2r\\2r=2\\r=1\\a_1=a_6-5r\\a_1=1-5\\a_1=-4\\a_{10}=a_8+2r\\a_{10}=3+2\\a_{10}=5\\S_{10}=\frac{a_1+a_{10}}{2}\cdot10\\S_{10}=\frac{-4+5}{2}\cdot10\\S_{10}=5\)

b)
\(a_4-a_2=2r\\2r=-12\\r=-6\\a_1=a_2-r\\a_1=18\\a_{10}=a_1+10r\\a_{10}=-42\\S_{10}=\frac{18-42}{2}\cdot10=-120\)

2.

a)

Liczb naturalnych mniejszych od 100 i dających w dzieleniu przez 5 resztę równą 3 jest 20. Najmniejsza z nich to liczba 3, a największa to 98. Liczby kolejne różnią się o 5.

Czyli mamy tu ciąg arytmetyczny, w którym:

\(a_1=3\\a_{20}=98\\r=5\)

\(S_{20}=\frac{3+98}{2}\cdot20=1010\)

b)
Najmniejszą z tych liczb jest 4, największą 94. Liczby te różnią się o 6. Jest ich 16.

\(S_{16}=\frac{4+94}{2}\cdot16=784\)

3.
Badając monotoniczność ciągu, badamy różnicę \(a_{n+1}-a_n\). Jeżeli dla każdego naturalnego n ta różnica jest dodatnia, to ciąg jest rosnący, jeśli ujemna - to jest to ciąg malejący. Jeżeli nie da się określić (znak różnicy zależy od wartości liczby n), to ciąg nie jest monotoniczny.

a)

\(a_{n+1}=\frac{3(n+1)-2}{3(n+1)+1}=\frac{3n+1}{3n+4}\\a_{n+1}-a_n=\frac{3n+1}{3n+4}-\frac{3n-2}{3n+1}=\frac{9n^2+6n+1-9n^2-12n+6n+8}{(3n+4)(3n+1)}=\frac{9}{(3n+4)(3n+1)}\)

Ponieważ n jest dodatnią liczba naturalną, więc mianownik tego ułamka jest liczbą dodatnią. Licznik tego ułamka jest równy 9, więc ułamek ma wartość dodatnią dla każdej naturalnej liczby n>0.

Ciąg ten jest więc rosnący.

b)

\(a_{n+1}=\frac{4(n+1)+1}{3(n+1)=1}=\frac{4n+5}{3n+4}\\a_{n+1}-a_n=\frac{(4n+5)(3n+1)-(4n+1)(3n+4)}{(3n+4)(3n+1)}=\frac{1}{(3n+4)(3n+1)}>0\)

Ciąg jest rosnący.

c)

\(a_{n+1}=\frac{-1-3n}{4n-1}\\a_{n+1}-a_n=\frac{7}{(4n-5)(4n-1)}\)

Ten ułamek ma wartość dodatnią dla n>1. Ciąg nie jest monotoniczny. (Jest rosnący dopiero od drugiego wyrazu).

d)

\(a_{n+1}=\frac{-2n^2+2}{2n^2+4n+1}\\a_{n+1}-a_n=\frac{-8n^2-4n-2}{(2n^2-1)(2n^2+4n+1)}\)

Mianownik tego ułamka ma dla każdej dodatniej naturalnej liczby n wartość dodatnią. trzeba zbadać znak mianownika.

\(-8x^2-4x-2\\\Delta=16-4(-8)(-2)=16-64<0\).
Dla wszystkich liczb rzeczywistych x wartość tego trójmianu jest ujemna.

Ciąg jest malejący.
irena
Guru
Guru
Posty: 22300
Rejestracja: 10 paź 2009, 19:08
Otrzymane podziękowania: 9858 razy
Płeć:

Post autor: irena »

4.

a)
\(a_1=1\\a_4=10\\a_4=a_1+3r\\3r=9\\r=3\\a=4\\b=7\)

b)

\(a_1=2\\a_5=100\\a_5=a_1\cdot\ q^4\\q^4=50\\q_1=\sqrt[4]{50}\vee\ q_2=-\sqrt[4]{50}\)

\(\begin{cases}a=2\sqrt[4]{50}\\b=2(\sqrt[4]{50})^2=10\sqrt{2}\\c=2(\sqrt[4]{50})^3=10\sqrt[4]{200}\end{cases}\ \vee\begin{cases}a=-2\sqrt[4]{50}\\b=2(\sqrt[4]{50})^2=10\sqrt{2}\\c=-2(\sqrt[4]{50})^3=-10\sqrt[4]{200}\end{cases}\)
irena
Guru
Guru
Posty: 22300
Rejestracja: 10 paź 2009, 19:08
Otrzymane podziękowania: 9858 razy
Płeć:

Post autor: irena »

5.

a)

\(a_{10}-a_6=4r\\4r=-16\\r=-4\\a_1=a_6-5r\\a_1=20+20=40\\a_n=a_1+(n-1)\cdot\ r\\a_n=40+(n-1)\cdot(-4)\\a_n=40-4n+4\\a_n=-4n+44\)
gosia979
Często tu bywam
Często tu bywam
Posty: 181
Rejestracja: 26 gru 2009, 13:39
Podziękowania: 233 razy

Post autor: gosia979 »

dziekuje bardzo:**
irena
Guru
Guru
Posty: 22300
Rejestracja: 10 paź 2009, 19:08
Otrzymane podziękowania: 9858 razy
Płeć:

Post autor: irena »

6.
a,b - przyprostokątne, c- przeciwprostokątna

b=a+3, c=a+6

\(a^2+b^2=c^2\\a^2+(a+3)^2=(a+6)^2\\a^2+a^2+6a+9=a^2+12a+36\\a^2-6a-27=0\\(a+3)(a-9)=0\\a=-3\vee\ a=9\\\begin{cases}a=9\\b=12\\c=15\end{cases}\)
irena
Guru
Guru
Posty: 22300
Rejestracja: 10 paź 2009, 19:08
Otrzymane podziękowania: 9858 razy
Płeć:

Post autor: irena »

5.b)
\(a_3=-9\\a_{15}=-3\\a_{15}-a_3=12r\\12r=6\\r=\frac{1}{2}\\a_1=a_3-2r\\a_1=-9-1\\a_1=-10\\a_n=-10+(n-1)\cdot\frac{1}{2}\\a_n=\frac{1}{2}n-\frac{21}{2}\)
irena
Guru
Guru
Posty: 22300
Rejestracja: 10 paź 2009, 19:08
Otrzymane podziękowania: 9858 razy
Płeć:

Post autor: irena »

5.c)

\(a_{21}-a_5=16r\\16r=4\\r=\frac{1}{4}\\a_1=a_5-4r\\a_1=3\\a_n=3+(n-1)\cdot\frac{1}{4}\\a_n=\frac{1}{4}n+\frac{11}{4}\)

d)
\(a_5-a_3=2r\\2r=-2\\r=-1\\a_1=a_3-2r\\a_1=6\\a_n=6+(n-1)\cdot(-1)\\a_n=-n+7\)
gosia979
Często tu bywam
Często tu bywam
Posty: 181
Rejestracja: 26 gru 2009, 13:39
Podziękowania: 233 razy

Post autor: gosia979 »

czy moge pania prosic o jakies wytlumaczenie jakani torobi do zanania 2 i 4
bede wdzieczna i bardzo mi pani pomoze
irena
Guru
Guru
Posty: 22300
Rejestracja: 10 paź 2009, 19:08
Otrzymane podziękowania: 9858 razy
Płeć:

Post autor: irena »

Jestem Irena - nie pisz mi "pani", proszę.
Zad. 2.

Liczby, które w dzieleniu przez 5 dają resztę 3 mają postać 5n+3 (n- liczba naturalna). Co piąta liczba naturalna ma tę własność (czyli każda jest od kolejnej mniejsza o 5). Żeby obliczyć najmniejszą - za n wstaw 0. Żeby obliczyć, ile ich jest wśród liczb mniejszych od 100, podzielić trzeba 100 przez 5. (Na wszelki wypadek sprawdzam). Tworzą one ciąg arytmetyczny o różnicy 5. Dalej - liczyłam sumę dwudziestu pierwszych wyrazów tego ciągu.

Liczby, które w dzieleniu przez 6 dają resztę 4, mają postać 6n+4. Najmniejsza z nich to 4. Co szósta liczba ma tę własność. Czyli tworzą one ciąg o różnicy równej 6. Żeby znaleźć ich liczbę, podzielić trzeba 100 przez 6 i wziąć całkowity iloraz.

zad. 4.

a)
Liczby (1,a,b,10) tworzą ciąg arytmetyczny. Czyli w tym ciągu \(a_1=1,\ a_2=a,\ a_3=b,\ a_4=10\).

Jeśli dane są dwa dowolne wyrazy ciągu arytmetycznego, to zawsze można obliczyć różnicę tego ciągu. N.p. jeśli \(a_6=1,\ a_8=3\), to te wyrazy różnią się o dwie takie różnice. Czyli 2r=3-1. Podobnie, n.p. \(a_7=a_2+5r\)
i \(a_8=a_1+7r,\ a_1=a_8-7r\)

b)
Liczby (2,a,b,c,100) tworzą ciąg geometryczny. Czyli w tym ciągu \(a_1=2,\ a_2=a,\ a_3=b,\ a_4=c,\ a_5=100\).

Jeśli dane są dwa wyrazy ciągu geometrycznego, można obliczyć iloraz tego ciągu. N.p. jeśli \(a_4=6,\ a_1=2\), to
\(\frac{a_4}{a_1}=q^3\\q^3=3\\q=\sqrt[3]{3}\).

Jeśli numery wyrazów różnią się o nieparzystą liczbę, to iloraz ciągu obliczyć można jednoznacznie, a jeśli o parzystą liczbę, to istnieją dwie możliwości. Jeśli n.p. \(a_5=100,\ a_1=2\), to \(q^4=50\) i wtedy istnieją dwie możliwości - q jest dodatnie lub ujemne.

Nie wiem, czy wytłumaczyłam to, z czym miałaś problem. Jeśli nie, to napisz, co jeszcze wytłumaczyć. Pozdrawiam
gosia979
Często tu bywam
Często tu bywam
Posty: 181
Rejestracja: 26 gru 2009, 13:39
Podziękowania: 233 razy

Post autor: gosia979 »

Dziękuje bardzo..

pomogło mi to w zrozumieniu tego zadania..
ODPOWIEDZ