Ciagi arytmetyczne
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Ciagi arytmetyczne
Pomocy!!!\(Pomocy\)
zad. 1 Oblicz wyrazy a1 i a10 oraz sume s10 ciagu arytmetycznego an:
a)a6=1 i a8=3
b)a2=12 i a4=0
zad. 2 Oblicz sume wszystkich liczb naturalnych mniejszych od 100, których:
a) reszta z dzielenia przez 5 jest równa 3
b) reszta z dzielenia przez 6 jest równa 4 lub 5
zad. 3 Zbadaj monotonicznosc ciagu: (tutaj to jest na kresce ulamkowej, wiec jak cos to ":" oznacza kreske ulamkowa)
a)an=(3n-2): (3n+1)
b)an=(4n+1): (3n+1)
c)an=(2-3n): (4n-5)
d)an=(4n-2n^2): (2n^2 -1) - "^2" - oznacza do potegi drugiej ?
zad. 4 Wyznacz liczby:
a) a,b tak, aby liczby (1,a,b,10) tworzyly ciag arytmetyczny
b)a,b,c tak, aby liczby (2,a,b,c,100) tworzy ciąg arytmetyczny
zad. 5 Wyznacz wzór ogólny ciągu arytmetycznego an:
a)a6=20 i a10=4
b)a3=-9 i a15=-3
c)a5=4 i a21 = 8
d)a3=4 i a5=2
zad. 6
Dlugosci bokow trojkata prostokatnego tworza ciag arytmetyczny o r=3. Oblicz obwod tego trojkata.
zad. 1 Oblicz wyrazy a1 i a10 oraz sume s10 ciagu arytmetycznego an:
a)a6=1 i a8=3
b)a2=12 i a4=0
zad. 2 Oblicz sume wszystkich liczb naturalnych mniejszych od 100, których:
a) reszta z dzielenia przez 5 jest równa 3
b) reszta z dzielenia przez 6 jest równa 4 lub 5
zad. 3 Zbadaj monotonicznosc ciagu: (tutaj to jest na kresce ulamkowej, wiec jak cos to ":" oznacza kreske ulamkowa)
a)an=(3n-2): (3n+1)
b)an=(4n+1): (3n+1)
c)an=(2-3n): (4n-5)
d)an=(4n-2n^2): (2n^2 -1) - "^2" - oznacza do potegi drugiej ?
zad. 4 Wyznacz liczby:
a) a,b tak, aby liczby (1,a,b,10) tworzyly ciag arytmetyczny
b)a,b,c tak, aby liczby (2,a,b,c,100) tworzy ciąg arytmetyczny
zad. 5 Wyznacz wzór ogólny ciągu arytmetycznego an:
a)a6=20 i a10=4
b)a3=-9 i a15=-3
c)a5=4 i a21 = 8
d)a3=4 i a5=2
zad. 6
Dlugosci bokow trojkata prostokatnego tworza ciag arytmetyczny o r=3. Oblicz obwod tego trojkata.
1.
a)
\(a_8-a_6=2r\\2r=2\\r=1\\a_1=a_6-5r\\a_1=1-5\\a_1=-4\\a_{10}=a_8+2r\\a_{10}=3+2\\a_{10}=5\\S_{10}=\frac{a_1+a_{10}}{2}\cdot10\\S_{10}=\frac{-4+5}{2}\cdot10\\S_{10}=5\)
b)
\(a_4-a_2=2r\\2r=-12\\r=-6\\a_1=a_2-r\\a_1=18\\a_{10}=a_1+10r\\a_{10}=-42\\S_{10}=\frac{18-42}{2}\cdot10=-120\)
2.
a)
Liczb naturalnych mniejszych od 100 i dających w dzieleniu przez 5 resztę równą 3 jest 20. Najmniejsza z nich to liczba 3, a największa to 98. Liczby kolejne różnią się o 5.
Czyli mamy tu ciąg arytmetyczny, w którym:
\(a_1=3\\a_{20}=98\\r=5\)
\(S_{20}=\frac{3+98}{2}\cdot20=1010\)
b)
Najmniejszą z tych liczb jest 4, największą 94. Liczby te różnią się o 6. Jest ich 16.
\(S_{16}=\frac{4+94}{2}\cdot16=784\)
3.
Badając monotoniczność ciągu, badamy różnicę \(a_{n+1}-a_n\). Jeżeli dla każdego naturalnego n ta różnica jest dodatnia, to ciąg jest rosnący, jeśli ujemna - to jest to ciąg malejący. Jeżeli nie da się określić (znak różnicy zależy od wartości liczby n), to ciąg nie jest monotoniczny.
a)
\(a_{n+1}=\frac{3(n+1)-2}{3(n+1)+1}=\frac{3n+1}{3n+4}\\a_{n+1}-a_n=\frac{3n+1}{3n+4}-\frac{3n-2}{3n+1}=\frac{9n^2+6n+1-9n^2-12n+6n+8}{(3n+4)(3n+1)}=\frac{9}{(3n+4)(3n+1)}\)
Ponieważ n jest dodatnią liczba naturalną, więc mianownik tego ułamka jest liczbą dodatnią. Licznik tego ułamka jest równy 9, więc ułamek ma wartość dodatnią dla każdej naturalnej liczby n>0.
Ciąg ten jest więc rosnący.
b)
\(a_{n+1}=\frac{4(n+1)+1}{3(n+1)=1}=\frac{4n+5}{3n+4}\\a_{n+1}-a_n=\frac{(4n+5)(3n+1)-(4n+1)(3n+4)}{(3n+4)(3n+1)}=\frac{1}{(3n+4)(3n+1)}>0\)
Ciąg jest rosnący.
c)
\(a_{n+1}=\frac{-1-3n}{4n-1}\\a_{n+1}-a_n=\frac{7}{(4n-5)(4n-1)}\)
Ten ułamek ma wartość dodatnią dla n>1. Ciąg nie jest monotoniczny. (Jest rosnący dopiero od drugiego wyrazu).
d)
\(a_{n+1}=\frac{-2n^2+2}{2n^2+4n+1}\\a_{n+1}-a_n=\frac{-8n^2-4n-2}{(2n^2-1)(2n^2+4n+1)}\)
Mianownik tego ułamka ma dla każdej dodatniej naturalnej liczby n wartość dodatnią. trzeba zbadać znak mianownika.
\(-8x^2-4x-2\\\Delta=16-4(-8)(-2)=16-64<0\).
Dla wszystkich liczb rzeczywistych x wartość tego trójmianu jest ujemna.
Ciąg jest malejący.
a)
\(a_8-a_6=2r\\2r=2\\r=1\\a_1=a_6-5r\\a_1=1-5\\a_1=-4\\a_{10}=a_8+2r\\a_{10}=3+2\\a_{10}=5\\S_{10}=\frac{a_1+a_{10}}{2}\cdot10\\S_{10}=\frac{-4+5}{2}\cdot10\\S_{10}=5\)
b)
\(a_4-a_2=2r\\2r=-12\\r=-6\\a_1=a_2-r\\a_1=18\\a_{10}=a_1+10r\\a_{10}=-42\\S_{10}=\frac{18-42}{2}\cdot10=-120\)
2.
a)
Liczb naturalnych mniejszych od 100 i dających w dzieleniu przez 5 resztę równą 3 jest 20. Najmniejsza z nich to liczba 3, a największa to 98. Liczby kolejne różnią się o 5.
Czyli mamy tu ciąg arytmetyczny, w którym:
\(a_1=3\\a_{20}=98\\r=5\)
\(S_{20}=\frac{3+98}{2}\cdot20=1010\)
b)
Najmniejszą z tych liczb jest 4, największą 94. Liczby te różnią się o 6. Jest ich 16.
\(S_{16}=\frac{4+94}{2}\cdot16=784\)
3.
Badając monotoniczność ciągu, badamy różnicę \(a_{n+1}-a_n\). Jeżeli dla każdego naturalnego n ta różnica jest dodatnia, to ciąg jest rosnący, jeśli ujemna - to jest to ciąg malejący. Jeżeli nie da się określić (znak różnicy zależy od wartości liczby n), to ciąg nie jest monotoniczny.
a)
\(a_{n+1}=\frac{3(n+1)-2}{3(n+1)+1}=\frac{3n+1}{3n+4}\\a_{n+1}-a_n=\frac{3n+1}{3n+4}-\frac{3n-2}{3n+1}=\frac{9n^2+6n+1-9n^2-12n+6n+8}{(3n+4)(3n+1)}=\frac{9}{(3n+4)(3n+1)}\)
Ponieważ n jest dodatnią liczba naturalną, więc mianownik tego ułamka jest liczbą dodatnią. Licznik tego ułamka jest równy 9, więc ułamek ma wartość dodatnią dla każdej naturalnej liczby n>0.
Ciąg ten jest więc rosnący.
b)
\(a_{n+1}=\frac{4(n+1)+1}{3(n+1)=1}=\frac{4n+5}{3n+4}\\a_{n+1}-a_n=\frac{(4n+5)(3n+1)-(4n+1)(3n+4)}{(3n+4)(3n+1)}=\frac{1}{(3n+4)(3n+1)}>0\)
Ciąg jest rosnący.
c)
\(a_{n+1}=\frac{-1-3n}{4n-1}\\a_{n+1}-a_n=\frac{7}{(4n-5)(4n-1)}\)
Ten ułamek ma wartość dodatnią dla n>1. Ciąg nie jest monotoniczny. (Jest rosnący dopiero od drugiego wyrazu).
d)
\(a_{n+1}=\frac{-2n^2+2}{2n^2+4n+1}\\a_{n+1}-a_n=\frac{-8n^2-4n-2}{(2n^2-1)(2n^2+4n+1)}\)
Mianownik tego ułamka ma dla każdej dodatniej naturalnej liczby n wartość dodatnią. trzeba zbadać znak mianownika.
\(-8x^2-4x-2\\\Delta=16-4(-8)(-2)=16-64<0\).
Dla wszystkich liczb rzeczywistych x wartość tego trójmianu jest ujemna.
Ciąg jest malejący.
4.
a)
\(a_1=1\\a_4=10\\a_4=a_1+3r\\3r=9\\r=3\\a=4\\b=7\)
b)
\(a_1=2\\a_5=100\\a_5=a_1\cdot\ q^4\\q^4=50\\q_1=\sqrt[4]{50}\vee\ q_2=-\sqrt[4]{50}\)
\(\begin{cases}a=2\sqrt[4]{50}\\b=2(\sqrt[4]{50})^2=10\sqrt{2}\\c=2(\sqrt[4]{50})^3=10\sqrt[4]{200}\end{cases}\ \vee\begin{cases}a=-2\sqrt[4]{50}\\b=2(\sqrt[4]{50})^2=10\sqrt{2}\\c=-2(\sqrt[4]{50})^3=-10\sqrt[4]{200}\end{cases}\)
a)
\(a_1=1\\a_4=10\\a_4=a_1+3r\\3r=9\\r=3\\a=4\\b=7\)
b)
\(a_1=2\\a_5=100\\a_5=a_1\cdot\ q^4\\q^4=50\\q_1=\sqrt[4]{50}\vee\ q_2=-\sqrt[4]{50}\)
\(\begin{cases}a=2\sqrt[4]{50}\\b=2(\sqrt[4]{50})^2=10\sqrt{2}\\c=2(\sqrt[4]{50})^3=10\sqrt[4]{200}\end{cases}\ \vee\begin{cases}a=-2\sqrt[4]{50}\\b=2(\sqrt[4]{50})^2=10\sqrt{2}\\c=-2(\sqrt[4]{50})^3=-10\sqrt[4]{200}\end{cases}\)
Jestem Irena - nie pisz mi "pani", proszę.
Zad. 2.
Liczby, które w dzieleniu przez 5 dają resztę 3 mają postać 5n+3 (n- liczba naturalna). Co piąta liczba naturalna ma tę własność (czyli każda jest od kolejnej mniejsza o 5). Żeby obliczyć najmniejszą - za n wstaw 0. Żeby obliczyć, ile ich jest wśród liczb mniejszych od 100, podzielić trzeba 100 przez 5. (Na wszelki wypadek sprawdzam). Tworzą one ciąg arytmetyczny o różnicy 5. Dalej - liczyłam sumę dwudziestu pierwszych wyrazów tego ciągu.
Liczby, które w dzieleniu przez 6 dają resztę 4, mają postać 6n+4. Najmniejsza z nich to 4. Co szósta liczba ma tę własność. Czyli tworzą one ciąg o różnicy równej 6. Żeby znaleźć ich liczbę, podzielić trzeba 100 przez 6 i wziąć całkowity iloraz.
zad. 4.
a)
Liczby (1,a,b,10) tworzą ciąg arytmetyczny. Czyli w tym ciągu \(a_1=1,\ a_2=a,\ a_3=b,\ a_4=10\).
Jeśli dane są dwa dowolne wyrazy ciągu arytmetycznego, to zawsze można obliczyć różnicę tego ciągu. N.p. jeśli \(a_6=1,\ a_8=3\), to te wyrazy różnią się o dwie takie różnice. Czyli 2r=3-1. Podobnie, n.p. \(a_7=a_2+5r\)
i \(a_8=a_1+7r,\ a_1=a_8-7r\)
b)
Liczby (2,a,b,c,100) tworzą ciąg geometryczny. Czyli w tym ciągu \(a_1=2,\ a_2=a,\ a_3=b,\ a_4=c,\ a_5=100\).
Jeśli dane są dwa wyrazy ciągu geometrycznego, można obliczyć iloraz tego ciągu. N.p. jeśli \(a_4=6,\ a_1=2\), to
\(\frac{a_4}{a_1}=q^3\\q^3=3\\q=\sqrt[3]{3}\).
Jeśli numery wyrazów różnią się o nieparzystą liczbę, to iloraz ciągu obliczyć można jednoznacznie, a jeśli o parzystą liczbę, to istnieją dwie możliwości. Jeśli n.p. \(a_5=100,\ a_1=2\), to \(q^4=50\) i wtedy istnieją dwie możliwości - q jest dodatnie lub ujemne.
Nie wiem, czy wytłumaczyłam to, z czym miałaś problem. Jeśli nie, to napisz, co jeszcze wytłumaczyć. Pozdrawiam
Zad. 2.
Liczby, które w dzieleniu przez 5 dają resztę 3 mają postać 5n+3 (n- liczba naturalna). Co piąta liczba naturalna ma tę własność (czyli każda jest od kolejnej mniejsza o 5). Żeby obliczyć najmniejszą - za n wstaw 0. Żeby obliczyć, ile ich jest wśród liczb mniejszych od 100, podzielić trzeba 100 przez 5. (Na wszelki wypadek sprawdzam). Tworzą one ciąg arytmetyczny o różnicy 5. Dalej - liczyłam sumę dwudziestu pierwszych wyrazów tego ciągu.
Liczby, które w dzieleniu przez 6 dają resztę 4, mają postać 6n+4. Najmniejsza z nich to 4. Co szósta liczba ma tę własność. Czyli tworzą one ciąg o różnicy równej 6. Żeby znaleźć ich liczbę, podzielić trzeba 100 przez 6 i wziąć całkowity iloraz.
zad. 4.
a)
Liczby (1,a,b,10) tworzą ciąg arytmetyczny. Czyli w tym ciągu \(a_1=1,\ a_2=a,\ a_3=b,\ a_4=10\).
Jeśli dane są dwa dowolne wyrazy ciągu arytmetycznego, to zawsze można obliczyć różnicę tego ciągu. N.p. jeśli \(a_6=1,\ a_8=3\), to te wyrazy różnią się o dwie takie różnice. Czyli 2r=3-1. Podobnie, n.p. \(a_7=a_2+5r\)
i \(a_8=a_1+7r,\ a_1=a_8-7r\)
b)
Liczby (2,a,b,c,100) tworzą ciąg geometryczny. Czyli w tym ciągu \(a_1=2,\ a_2=a,\ a_3=b,\ a_4=c,\ a_5=100\).
Jeśli dane są dwa wyrazy ciągu geometrycznego, można obliczyć iloraz tego ciągu. N.p. jeśli \(a_4=6,\ a_1=2\), to
\(\frac{a_4}{a_1}=q^3\\q^3=3\\q=\sqrt[3]{3}\).
Jeśli numery wyrazów różnią się o nieparzystą liczbę, to iloraz ciągu obliczyć można jednoznacznie, a jeśli o parzystą liczbę, to istnieją dwie możliwości. Jeśli n.p. \(a_5=100,\ a_1=2\), to \(q^4=50\) i wtedy istnieją dwie możliwości - q jest dodatnie lub ujemne.
Nie wiem, czy wytłumaczyłam to, z czym miałaś problem. Jeśli nie, to napisz, co jeszcze wytłumaczyć. Pozdrawiam