Zadania maturalne z ciągów

[onangelicwings]

2. Balon wzniósł się w 1. minucie na wys. 8m, a w kazdej nastepnej minucie wznosil sie 2 razy wolniej niz w poprzedniej. P0 jakim czssie osiagnie wysokość 15 m?

4 Pierwszy odcinek łamanej ma długśc 3 cm, a kazdy kolejny jest dwa razy dluzszy od poprzedniego. Z ilu odcinków sklada sie lamana jesli ma ona długość 765 cm?


Dziękuje za pomoc w leczeniu mojej amnezji

[josselyn]

4
Odp. Z 8 odcinków
\(a_1=3
a_2=2*3
a=3=2*2*3
a_n=3*(2)^{n-1}
q=2
S_n= \frac{3}{1-2}(1-2^n)=765
3(2^n-1)=765
2^n-1=255
2^n=256
2^n=2^8
n=8\)

[Galen]

2)
Masz ciąg geometryczny
\(a_1=8\\a_2=4\\a_3=2\\a_4=1\)
Suma tych wysokości ma wynosić 15 m
\(8+4+2+1=15\)
Jak widać po 4 minutach balon osiągnie wysokość 15 m.

Można też zastosować wzór na sumę n wyrazów ciągu geometrycznego
\(a_1=8\\q=0,5\)
\(S_n=a_1\cdot \frac{1-q^n}{1-q}\)
\(15=8\cdot \frac{1-0,5^n}{1-0,5}\\
15=8\cdot {1-0,5^n}{0,5}\\
\frac{15}{16}=1-(\frac{1}{2})^n\)
\((\frac{1}{2})^n=\frac{1}{16}\\
n=4\)
Zadanie jest łatwiej zrobić w pamięci niż wzorem.
4)
3,6,12,24,...
\(a_1=3\\
q=2\\
S_n=765\\
n=?\)
\(765=3\cdot \frac{1-2^n}{1-2}\;/:3\\
255=\frac{1-2^n}{-1}\\
255=-1+2^n\\
256=2^n\;\;\;\;\;\;i\;\;\;\;256=16\cdot 16=2^4\cdot 2^4=2^8\\
2^8=2^n\\
n=8\)
Z ośmiu odcinków.

[josselyn]

3
odp. po 4 minutach
\(a_1=8
a_2=4
a_3=2
a_4=1
a_n=8*0.5^{n-1}
q=0.5
s_n= \frac{8}{1-0.5}(1-0.5^n)=15
16(1-0.5^n)=15
1-0.5^n= \frac{15}{16}
0.5^n= \frac{1}{16}
0.5^n=0.5^4
n=4\)