Analiza wymierna

[promarian1970]

Metodą analizy wymiernej wyprowadź wzór na prędkość dzwięku w powietrzu \(Vdz=C1q \frac{y}{p}py\) \([P]= \frac{N}{m2}\)\(C1= \sqrt{1,4}\) i ją obliczyć gdy \(qp=1,3 \frac{kg}{m3}\)\(P=1000hPa\)

[Panko]

To narzędzie nazywa się analiza wymiarowa .

Postulujemy , aby prędkość dźwięku w powietrzu była postaci \(v_d =c \cdot p^ \alpha \cdot \rho^ \beta\)
gdzie \(\rho\) to gęstość . , \(c\) ---stała bezwymiarowa.
Wymiary : ciśnienie \(p \sim \frac{N}{m^2}=\frac{kg}{m \cdot s^2}\) ,\(\\)\(\\) \(\rho \sim \frac{kg}{m^3}\)

Wtedy \(v_d\) ma wymiar : \(( \frac{kg}{m \cdot s^2} )^ \alpha \cdot ( \frac{kg}{m^3} )^ \beta\) .

Po uporządkowaniu jest : \(\frac{ kg^{ \alpha + \beta }}{ m^{ \alpha +3 \beta } \cdot s^{ 2 \alpha }}\)

wymiar jednostki prędkości do której dążymy to \(\frac{m}{s}\) . ( kg jest w potędze 0 )

stąd równość : \(\alpha + \beta =0\) czyli \(\alpha =- \beta\) \(\\)\(\\) : \(\\)\(\frac{ 1}{ m^{ 2\beta } \cdot s^{ 2 \alpha }} = \frac{ 1}{ m^{ 2\beta } \cdot s^{ -2 \beta }}\)
aby wymiar tej jednostki był \(\frac{m}{s}\) \(\\)to\(\\)\(-2 \beta =1\)

Stąd : \(\beta =-\frac{1}{2}\) , \(\alpha =\frac{1}{2}\) i szukany wzór to : \(v_d=c \cdot p^{ \frac{1}{2} } \cdot \rho ^{ - \frac{1}{2} }=c \cdot \sqrt{\frac{p}{\rho}}\)
..............................................................................
A rozchodzenie się fal głosowych w ośrodkach gazowych oblicza się \(v= \sqrt{\frac{\kappa \cdot p}{\rho}}\)