Udowodnij

Zadania niepasujące do innych kategorii.
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Artegor
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 594
Rejestracja: 09 lis 2015, 18:25
Podziękowania: 364 razy
Płeć:

Udowodnij

Post autor: Artegor »

Udowodnij, że:

\(1^2+2^2+...+n^2= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)

Bardzo prosiłbym o pomoc.
Przemo10
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 631
Rejestracja: 12 wrz 2011, 17:15
Podziękowania: 2 razy
Otrzymane podziękowania: 218 razy
Płeć:

Post autor: Przemo10 »

Indukcję znasz ? Jeśli tak to w czym jest problem?
Przykładowe zadania na indukcję masz w poradniku
To robisz analogicznie
Przemo10
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 631
Rejestracja: 12 wrz 2011, 17:15
Podziękowania: 2 razy
Otrzymane podziękowania: 218 razy
Płeć:

Post autor: Przemo10 »

Nawet nie zauważyłem, żeś ty fachowiec :D . Jeśli jednak był problem to pytaj.
Ewentualnie wujek google pomoże:P
Galen
Guru
Guru
Posty: 18457
Rejestracja: 17 sie 2008, 15:23
Podziękowania: 4 razy
Otrzymane podziękowania: 9161 razy

Post autor: Galen »

Dowód indukcyjny ma dwa etapy:
1.Sprawdzenie,czy równość jest prawdziwa dla n=1
2.Dowód implikacji,że z prawdziwości dla dowolnego n wynika prawdziwość dla liczby kolejnej,czyli dla (n+1).
Piszesz:
1.
Dla n=1
\(L(1)=1^2=1\\P(1)= \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{6}=1\\L(1)=P(1)\)
2.
Zakładasz prawdziwość dla n
i korzystając z tego wzoru dowodzisz prawdziwość dla n+1.
\(Założenie\;indukcyjne:\\1^2+2^2+...+n^2= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)
\(Teza\;indukcyjna:\\
1^2+2^2+...+n^2+(n+1)^2= \frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}\)

Dowodzisz tezę indukcyjną korzystając z założenia...
\(L(n+1)=1^2+2^2+362+...+n^2+(n+1)^2= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+(n+1)^2= \frac{n(n+1)(2n+1)+6(n+1)^2}{6}= \\=\frac{(n+1)[n(2n+1)+6(n+1)]}{6}= \frac{(n+1)[2n^2+n+6n+6]}{6}= \frac{(n+1)(2n^2+7n+6)}{6}= \frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}=P(n+1)\)

Jasne jest,że \(2n^2+7n+6=2(n+ \frac{3}{2})(n+2)=(2n+3)(n+2)\) ,możesz to potwierdzić licząc deltę i miejsca zerowe
i przedstawić trójmian w postaci iloczynowej.
Wszystko jest trudne,nim stanie się proste.
Artegor
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 594
Rejestracja: 09 lis 2015, 18:25
Podziękowania: 364 razy
Płeć:

Post autor: Artegor »

Dlaczego dla \(n=1\) \(L(1)=1^2\), a co z resztą \(1^2+2^2+...+\)?
lambda
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 285
Rejestracja: 11 sty 2016, 13:20
Otrzymane podziękowania: 148 razy
Płeć:

Post autor: lambda »

Zauważ, że dodajesz kwadraty kolejnych liczb naturalnych od 1do n.
Dla n=1 mamy L=\(1^2\)
Dla n=2 mamy L=\(1^2+2^2\)
... itd.
Ostatnio zmieniony 24 maja 2016, 22:27 przez lambda, łącznie zmieniany 1 raz.
Artegor
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 594
Rejestracja: 09 lis 2015, 18:25
Podziękowania: 364 razy
Płeć:

Post autor: Artegor »

Okej dzięki bardzo :D
octahedron
Expert
Expert
Posty: 6762
Rejestracja: 19 mar 2011, 00:22
Otrzymane podziękowania: 3034 razy
Płeć:

Post autor: octahedron »

A nieindukcyjnie np. tak:
\(S_n=\sum\limits_{k=0}^nk^3\\
S_{n+1}=\sum\limits_{k=0}^{n+1}k^3=\sum\limits_{k=1}^{n+1}k^3=\sum\limits_{k=0}^n(k+1)^3=\sum\limits_{k=0}^nk^3+3\sum\limits_{k=0}^nk^2+3\sum\limits_{k=0}^nk+\sum\limits_{k=0}^n1\\
S_{n+1}-S_n=(n+1)^3=3\sum\limits_{k=0}^nk^2+3\sum\limits_{k=0}^nk+\sum\limits_{k=0}^n1=3\sum\limits_{k=0}^nk^2+\frac{3n(n+1)}{2}+n+1\\
\sum\limits_{k=1}^nk^2=\sum\limits_{k=0}^nk^2=\frac{1}{3}\left((n+1)^3-\frac{3n(n+1)}{2}-(n+1)\right)=\frac{(n+1)(2(n+1)^2-3n-2)}{6}
=\frac{(n+1)(2n^2+n)}{6}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)
ODPOWIEDZ