Własności logarytmów

Zadania niepasujące do innych kategorii.
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
heisenking
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 11
Rejestracja: 26 wrz 2015, 15:48
Podziękowania: 55 razy
Płeć:

Własności logarytmów

Post autor: heisenking »

Zadanie 1
Oblicz:
a) \(\log_{12}2 + \log_{12}8+ \log_{12}9\)
b) \(\log _{3} \frac{1}{12}+ \log_{3} \frac{14}{15}+\log_{3} \frac{10}{21}\)
c) \(\log0,12-\log0,3+\log25\)
d) \(\log_{0,2}0,3-\log_{0,2}0,5-\log_{0,2}15\)

Zadanie 2
Wykaż, że dla dowolnych x,y,z \(\in\) \(R_{+}\) podana równość jest prawdziwa
a) \(\log x^2y^2=\log x+\log y+\log xy\)
b) \(\log \frac{1}{xy^2}-\log x^{-1}= - \frac{1}{2}\log y^4\)
c) \(\log xyz=\log \frac{x}{y} +\log y^{2}z\)
d) \(\log xy +\log \frac{z^2}{y} =\log xyz - \log \frac{y}{z}\)
e) \(2 \log \frac{x^3}{y} - 3 \log x^2z=2 \log ( \frac{y}{z} )^{-1}- 5 \log z\)

Zadanie 3
Podaj dziedzinę wyrażenia, a następnie przedstaw je w postaci logarytmu pewnej liczby
a) \(\log x^3 + 2 \log x\)
b) \(\log \sqrt{x} - \frac{3}{2} \log x\)
c) \(\frac{1}{2} \log x^4 +1\)
d) \(1-2 \log _{ \frac{1}{2} } x\)
e) \(2 \log _3 x + \log _3 y +1\)
f) \(\frac{1}{3} \log _5 8x^3 - 2 \log _5 y \sqrt{x}+ \frac{1}{2}\)
g) \(\frac{1}{2} \log _2x- \log _2y -2\)
h) \(\frac{1}{2} \log 4x^4 + \frac{1}{3} \log 8x^6 + \frac{1}{4} \log 16x^8 -3\)

Zadanie 4
Oblicz:
a) \((2 \log _{8} \sqrt{2} + \log _{8}32-1)^{ \log_3 {5}}\)
b) \(( \log _2 \frac{1}{8}- \log _3 \frac{3}{2} + \log _3 4,5 )^{ \log _{\sqrt{2} }4}\)
c) \(6^{0,25 \log _6 81-2 \log _6 0,5}\)
d) \(9 ^{ \log _{64}4+0,5 \log _{27}3}\)

Zadanie 5
Niech x będzie taką samą liczbą, że \(\log _3x = - \frac{1}{4}. Oblicz\)
a) \(\log _3 9x^8\)
b) \(\log _3 \frac{x^4}{81}\)
c) \(\log _3 \sqrt[4]{3x^6}\)
d) \(\log _3 \frac{27 \sqrt[3]{x} }{x}\)

Zadanie 6
Wyraź liczbę a za pomocą p = \(\log 2\)
a) \(a = \log 200\)
b) \(a = \log 0,02\)
c) \(a = \log 0,04\)
d) \(a = \log 1600\)

Zadanie 7.
Wyraź liczbę a za pomocą p i q, jeśli p=\(\log _3 2\) oraz \(q= \log _3 5\)
a) \(a= \log _3 20\)
b) \(a= \log_3 100\)
c) \(a=\log_3 \frac{2}{25}\)
d) \(a=\log_3 0,4\)
e) \(a=\log_3 3 \frac{1}{8}\)
f) \(a=\log_3 \frac{ \sqrt{5} }{2}\)
g) \(a=\log_3 \sqrt{10}\)
h) \(a=\log_3 0,2 \sqrt{2}\)

Zadanie 8.
Oblicz przybliżoną wartość logarytmu, jeśli \(\log4 \approx 0,6\) oraz \(\log5 \approx 0,7.\)
a) \(\log80\)
b) \(\log50\)
c) \(\log \frac{5}{4}\)
d) \(\log0,5\)
e) \(\log2,5\)
f) \(\log0,64\)
g) \(\log5 \sqrt{2}\)
h) \(\log25 \sqrt[3]{4}\)

Odpowiedzi:
1. a) 2, b) -3. c) 1, d) 2
3. a) \(x > 0, \log x^5\)
b) \(x > \log \frac{1}{x}\)
c) \(x \neq 0, \log 10x^2\)
d) \(x > 0, \log _{ \frac{1}{2} } \frac{1}{2x^2}\)
e) \(x > 0, y >0, \log _3 3x^2y\)
f) \(x > 0, y > 0, \log _5 \frac{2 \sqrt{5} }{y^2}\)
g) \(x > 0, y > 0, \log _2 \frac{ \sqrt{x} }{4y}\)
h) \(x \neq 0, \log \frac{x^6}{125}\)
4. a) 1, b) 16, c) 12, d) 3
5. a) 0, b) -5, c) \(- \frac{1}{8} d) 3 \frac{1}{6}\)
6. a) 2 + p, b) p-2, c) 2p-2, D) 4p+2
7. a) 2p+q, b) 2p+2q, c) p-2q, d) p-q, e) 2q-3p, f) \(\frac{1}{2} q-p\)
g) \(\frac{1}{2} p + \frac{1}{2} q\), h) \(\frac{1}{2}p-q\)
8. a) 1,9 b) 1,7 c) 0,1 d) -0,3 e) 0,4 f) -0,2 g) 0,85 h) 1,6
Awatar użytkownika
eresh
Guru
Guru
Posty: 16825
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Podziękowania: 6 razy
Otrzymane podziękowania: 10381 razy
Płeć:

Re: Własności logarytmów

Post autor: eresh »

heisenking pisze:Zadanie 1
Oblicz:
a) \(\log_{12}2 + \log_{12}8+ \log_{12}9\)
b) \(\log _{3} \frac{1}{12}+ \log_{3} \frac{14}{15}+\log_{3} \frac{10}{21}\)
c) \(\log0,12-\log0,3+\log25\)
d) \(\log_{0,2}0,3-\log_{0,2}0,5-\log_{0,2}15\)
a)
\(\log_{12}2 + \log_{12}8+ \log_{12}9=\log_{12}(2\cdot 8\cdot 9)=\log_{12}144=2\)

b)
\(\log _{3} \frac{1}{12}+ \log_{3} \frac{14}{15}+\log_{3} \frac{10}{21}=\log_3(\frac{1}{12}\cdot\frac{14}{15}\cdot\frac{10}{21})=\log_3\frac{1}{27}=-3\)

c)
\(\log0,12-\log0,3+\log25=\log\frac{12}{0,3}+\log 25=\log 40+\log 25=\log 1000=3\)

d)
\(\log_{0,2}0,3-\log_{0,2}0,5-\log_{0,2}15=\log_{0,2}\frac{3}{5}-\log_{0,2}15=\log_{0,2}0,04=2\)
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę 👍
Awatar użytkownika
eresh
Guru
Guru
Posty: 16825
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Podziękowania: 6 razy
Otrzymane podziękowania: 10381 razy
Płeć:

Re: Własności logarytmów

Post autor: eresh »

heisenking pisze: Zadanie 2
Wykaż, że dla dowolnych x,y,z \(\in\) \(R_{+}\) podana równość jest prawdziwa
a) \(\log x^2y^2=\log x+\log y+\log xy\)
\(P=\log x+\log y+\log (xy)=\log (xyxy)=\log (x^2y^2)=L\)
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę 👍
Awatar użytkownika
eresh
Guru
Guru
Posty: 16825
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Podziękowania: 6 razy
Otrzymane podziękowania: 10381 razy
Płeć:

Re: Własności logarytmów

Post autor: eresh »

heisenking pisze: Zadanie 2
Wykaż, że dla dowolnych x,y,z \(\in\) \(R_{+}\) podana równość jest prawdziwa
b) \(\log \frac{1}{xy^2}-\log x^{-1}= - \frac{1}{2}\log y^4\)

\(\log\frac{1}{xy^2}-\log x^{-1}=\log\frac{x}{xy^2}=\log\frac{1}{y^2}=-2\log y=-\frac{1}{2}\log y^4\)
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę 👍
Awatar użytkownika
eresh
Guru
Guru
Posty: 16825
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Podziękowania: 6 razy
Otrzymane podziękowania: 10381 razy
Płeć:

Re: Własności logarytmów

Post autor: eresh »

heisenking pisze:Zadanie 2
Wykaż, że dla dowolnych x,y,z \(\in\) \(R_{+}\) podana równość jest prawdziwa
c) \(\log xyz=\log \frac{x}{y} +\log y^{2}z\)

\(\log\frac{x}{y}+\log y^2z=\log\frac{xy^2z}{y}=\log (xyz)\)
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę 👍
Awatar użytkownika
eresh
Guru
Guru
Posty: 16825
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Podziękowania: 6 razy
Otrzymane podziękowania: 10381 razy
Płeć:

Re: Własności logarytmów

Post autor: eresh »

heisenking pisze: Zadanie 2
Wykaż, że dla dowolnych x,y,z \(\in\) \(R_{+}\) podana równość jest prawdziwa
d) \(\log xy +\log \frac{z^2}{y} =\log xyz - \log \frac{y}{z}\)
e

\(\log xy+\log\frac{z^2}{y}=\log\frac{xyz^2}{y}=\log(xyz)+\log\frac{z}{y}=\log(zyx)-\log\frac{y}{z}\)
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę 👍
Awatar użytkownika
eresh
Guru
Guru
Posty: 16825
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Podziękowania: 6 razy
Otrzymane podziękowania: 10381 razy
Płeć:

Re: Własności logarytmów

Post autor: eresh »

heisenking pisze: Zadanie 3
Podaj dziedzinę wyrażenia, a następnie przedstaw je w postaci logarytmu pewnej liczby
a) \(\log x^3 + 2 \log x\)
b) \(\log \sqrt{x} - \frac{3}{2} \log x\)
c) \(\frac{1}{2} \log x^4 +1\)
d) \(1-2 \log _{ \frac{1}{2} } x\)
e) \(2 \log _3 x + \log _3 y +1\)
f) \(\frac{1}{3} \log _5 8x^3 - 2 \log _5 y \sqrt{x}+ \frac{1}{2}\)
g) \(\frac{1}{2} \log _2x- \log _2y -2\)
h) \(\frac{1}{2} \log 4x^4 + \frac{1}{3} \log 8x^6 + \frac{1}{4} \log 16x^8 -3\)

a)
\(x>0\\
\log x^3 + 2 \log x=\log x^3+\log x^2=\log x^5\)


b)
\(x>0\\
\log\sqrt{x}-\frac{3}{2}\log x=\log x^{0,5}-\log x^{1,5}=\log x^{-1}=\log \frac{1}{x}\)


c)
\(x\neq 0\\
\frac{1}{2} \log x^4 +1=\log x^2+\log 10=log (10x^2)\)


d)
\(x>0\\
1-2 \log _{ \frac{1}{2} } x=\log_{\frac{1}{2}}\frac{1}{2}-\log_{\frac{1}{2}}x^2=\log_{\frac{1}{2}}\frac{1}{2x^2}\)


e)
\(x>0,y>0\\
2 \log _3 x + \log _3 y +1=\log_3x^2+\log_3y+\log_33=\log_3(3x^2y)\)


f)
\(x>0,y>0\\
\frac{1}{3} \log _5 8x^3 - 2 \log _5 y \sqrt{x}+ \frac{1}{2}=\log_52x-\log_5y^2x+\log_5\sqrt{5}=\log_5\frac{2\sqrt{5}}{y^2}\)


g)
\(x>0,y>0\\
\frac{1}{2} \log _2x- \log _2y -2=\log_2\sqrt{x}-\log_2y-\log_24=\log_2\frac{\sqrt{x}}{4y}\)


h)
\(x\neq 0\\
\frac{1}{2} \log 4x^4 + \frac{1}{3} \log 8x^6 + \frac{1}{4} \log 16x^8 -3=\log(2x^2)+\log (2x^2)+\log (2x^2)-\log 1000=\log\frac{8x^6}{1000}=\frac{x^6}{125}\)
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę 👍
Awatar użytkownika
eresh
Guru
Guru
Posty: 16825
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Podziękowania: 6 razy
Otrzymane podziękowania: 10381 razy
Płeć:

Re: Własności logarytmów

Post autor: eresh »

heisenking pisze: Zadanie 4
Oblicz:
a) \((2 \log _{8} \sqrt{2} + \log _{8}32-1)^{ \log_3 {5}}\)
b) \(( \log _2 \frac{1}{8}- \log _3 \frac{3}{2} + \log _3 4,5 )^{ \log _{\sqrt{2} }4}\)
c) \(6^{0,25 \log _6 81-2 \log _6 0,5}\)
d) \(9 ^{ \log _{64}4+0,5 \log _{27}3}\)

a)
\((2 \log _{8} \sqrt{2} + \log _{8}32-1)^{ \log_3 {5}}=(\log_82+\log_832-\log_88)^{\log_35}=(\log_88)^{\log_35}=1\)

b)
\(( \log _2 \frac{1}{8}- \log _3 \frac{3}{2} + \log _3 4,5 )^{ \log _{\sqrt{2} }4}=(-3+\log_33)^{4}=(-3+1)^4=16\)

c)
\(6^{0,25 \log _6 81-2 \log _6 0,5}=6^{\log_63-\log_30,25}=6^{\log_612}=12\)

d)
\(9 ^{ \log _{64}4+0,5 \log _{27}3}=9^{\frac{1}{3}+\frac{1}{6}}=9^{\frac{1}{2}}=3\)
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę 👍
Awatar użytkownika
eresh
Guru
Guru
Posty: 16825
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Podziękowania: 6 razy
Otrzymane podziękowania: 10381 razy
Płeć:

Re: Własności logarytmów

Post autor: eresh »

heisenking pisze: Zadanie 5
Niech x będzie taką samą liczbą, że \(\log _3x = - \frac{1}{4}. Oblicz\)
a) \(\log _3 9x^8\)
b) \(\log _3 \frac{x^4}{81}\)
c) \(\log _3 \sqrt[4]{3x^6}\)
d) \(\log _3 \frac{27 \sqrt[3]{x} }{x}\)

a)
\(\log _3 9x^8=\log_39+\log_3x^8=2+8\cdot (-0,25)=0\)

b)
\(\log _3 \frac{x^4}{81}=4\log_3x-\log_381=4\cdot (-0,25)-4=-5\)

c)
\(\log _3 \sqrt[4]{3x^6}=0,25\log_33+0,25\cdot 6\log x=0,25-0,375=-\frac{1}{8}\)

d)
\(\log_3\frac{27\sqrt[3]{x}}{x}=3+\log_3x^{-\frac{2}{3}}=3-\frac{2}{3}\cdot (-0,25)=\frac{19}{6}\)
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę 👍
Galen
Guru
Guru
Posty: 18457
Rejestracja: 17 sie 2008, 15:23
Podziękowania: 4 razy
Otrzymane podziękowania: 9161 razy

Post autor: Galen »

Wszystko jest trudne,nim stanie się proste.
ODPOWIEDZ