zadanie ze strony internetowej

[krysiaoz]

W nieskończonym ciągu geometrycznym suma n- początkowych wyrazów wyraża się wzorem
\(S _{n}= \frac{ 3^{n}-1}{10* 3^{n-2}}\) . Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego ciągu.

[radagast]

W nieskończonym ciągu geometrycznym suma n- początkowych wyrazów wyraża się wzorem
\(S _{n}= \frac{ 3^{n}-1}{10* 3^{n-2}}\) . Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego ciągu.

\(S= \Lim_{n\to \infty } S_n=\Lim_{n\to \infty } \frac{ 3^{n}-1}{10* 3^{n-2}}=\Lim_{n\to \infty } \frac{ 9 \cdot 3^{n}-9}{10* 3^{n}}=0,9\)

[Galen]

Znasz wzór na sumę wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego
\(S=\frac{a_1}{1-q}\;\;\;\;\;gdy\;\;\;\;\;|q|<1\)
Wystarczy policzyć wyraz pierwszy,drugi i iloraz
\(a_1=S_1= \frac{3-1}{10\cdot\; \frac{1}{3} }= \frac{6}{10}\\a_2=S_2-S_1= \frac{8}{10}- \frac{6}{10}= \frac{1}{5}\)
\(q= \frac{a_2}{a_1}= \frac{ \frac{1}{5} }{ \frac{3}{5} }= \frac{1}{3}\)
Suma:
\(S= \frac{0,6}{1- \frac{1}{3} }= \frac{6}{10}\cdot\;\frac{3}{2}= \frac{18}{20}=0,9\)