Wzory Vieta

Zadania niepasujące do innych kategorii.
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Magda135
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 5
Rejestracja: 26 sty 2015, 20:19
Podziękowania: 4 razy
Płeć:

Wzory Vieta

Post autor: Magda135 »

Witam Wszystkich pilnie potrzebuje rozwiązanie tego zadania mam nadzieje że ktoś mi pomoże
wyznacz wszystkie wartości parametru m , dla których suma kwadratów dwóch różnic pierwiastków rzeczywistych\(x_1,x_2,\) równania \(x^2 + (m-3)*x - m =0\) jest najmniejsza.Prosze o pomoc
Magda135
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 5
Rejestracja: 26 sty 2015, 20:19
Podziękowania: 4 razy
Płeć:

Post autor: Magda135 »

Bardzo prosze o pomoc jeszcze tego zadania
Wyznacz wszystkie wartości parametru m , dla których kwadrat różnicy pierwiastków równania
\(x^2 +m*x+2*m=0\) jest mniejszy od 20.
irena
Guru
Guru
Posty: 22300
Rejestracja: 10 paź 2009, 19:08
Otrzymane podziękowania: 9858 razy
Płeć:

Post autor: irena »

1.
\(x^2+(m-3)x-m=0\)

\(\Delta=(m-3)^2+4m=m^2-6m+9+4m=m^2-2m+9\\\Delta_1=4-36<0\)

Dla każdej rzeczywistej liczby m wyróżnik jest dodatni, czyli to równanie ma 2 różne pierwiastki rzeczywiste dla każdej rzeczywistej liczby m.

\(x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2\)

\(x_1+x_2=-m+3\\x_1x_2=-m\)

\(x_1^2+x_2^2=(-m+3)^2+2m=m^2-6m+9+2m=m^2-4m+9\)

\(f(m)=m^2-4m+9\)

To funkcja kwadratowa, której wykresem jest parabola z ramionami skierowanymi w górę.
Ma wartość najmniejszą w wierzchołku.

\(m_w=\frac{4}{2}=2\)

Suma kwadratów dwóch różnych pierwiastków danego równania jest najmniejsza dla m=2.
irena
Guru
Guru
Posty: 22300
Rejestracja: 10 paź 2009, 19:08
Otrzymane podziękowania: 9858 razy
Płeć:

Post autor: irena »

2.
\(x^2+mx+2m=0\)

\(\Delta=m^2-8m>0\\m(m-8)>0\\m\in(-\infty;\ 0)\ \cup\ (8;\ \infty)\)

\((x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2\)

\(x_1+x_2=-m\\x_1x_2=2m\)

\((x_1-x_2)^2=(-m)^2+4m=m^2+4m\)

\(m^2+4m<20\\\Delta_1=16+80=96\\m_1=\frac{-4-4\sqrt{6}}{2}=-2\sqrt{6}-2\ \vee\ m_2=\frac{-4+4\sqrt{6}}{2}=2\sqrt{6}-2\\m\in(-2\sqrt{6}-2;\ 2\sqrt{6}-2)\)


\(m\in(-2\sqrt{6}-2;\ 0)\)
Magda135
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 5
Rejestracja: 26 sty 2015, 20:19
Podziękowania: 4 razy
Płeć:

Post autor: Magda135 »

Co do zadania 1 nbie rozumiem skoro delta jest ujemna to dlaczego Pan/Pan pisze ze ma dwa pierwiastki?
Awatar użytkownika
eresh
Guru
Guru
Posty: 16825
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Podziękowania: 6 razy
Otrzymane podziękowania: 10381 razy
Płeć:

Post autor: eresh »

mamy sprawdzić dla jakich m \(\Delta>0\\\)
w tym celu rozwiązujemy nierówność
\(m^2-2m+9>0\\
\Delta_m=4-4\cdot 9=4-36<0\)

zbiorem rozwiązań tej nierówności jest zbiór liczb rzeczywistych, czyli delta głównego równania jest zawsze dodatnia, ma więc ono zawsze dwa rozwiązania
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę 👍
radagast
Guru
Guru
Posty: 17549
Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
Lokalizacja: Warszawa
Podziękowania: 41 razy
Otrzymane podziękowania: 7435 razy
Płeć:

Post autor: radagast »

To \(\Delta _1\) jest ujemna, co świadczy o dodatniości \(\Delta\) (dla wszystkich \(m\))
Magda135
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 5
Rejestracja: 26 sty 2015, 20:19
Podziękowania: 4 razy
Płeć:

Post autor: Magda135 »

dobrze rozumiem ma jeszcze prośbę zrobiłąm zadanie ale czegoś brakuje i nie wiem co dalej;)
treść
wyznacz wszystkie wartości parametru k , dla których równanie \(x^2 -7*k*x+2,4*k=0\) ma dwa pierwiastki , których suma kwadratów jest równa 1.
rozwiązanie
\(x^2 -7*k*x+2,4*k=0\)
\(a różne od 0 bo 1 różne od 0\)
\(x_1^2+x_2^2=1\)
\(x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2*x_1*x_2=(7k)^2 - 2*2,4*k=49*k^2-4,8k\)
\(49*k^2-4,8k=1\)
\(49*k^2-4,8k-1=0\)
\(\Delta =(-4,8)^2-4*49*(-1)=219,04\)
\(x_1= \frac{4,8-14,8}{2*49} =- \frac{5}{49}\)
\(x_2= \frac{4,8+14,8}{98}= \frac{1}{5}\)
radagast
Guru
Guru
Posty: 17549
Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
Lokalizacja: Warszawa
Podziękowania: 41 razy
Otrzymane podziękowania: 7435 razy
Płeć:

Post autor: radagast »

Żeby stosować wzory Viete'a trzeba sobie zapewnić nieujemność wyróżnika i tego tu brak.
No i teraz należałaby sprawdzić czy wyznaczone przez Ciebie rozwiązania spełniają ten pominięty warunek. (Spełniają :) )
irena
Guru
Guru
Posty: 22300
Rejestracja: 10 paź 2009, 19:08
Otrzymane podziękowania: 9858 razy
Płeć:

Re:

Post autor: irena »

Magda135 pisze:dobrze rozumiem ma jeszcze prośbę zrobiłąm zadanie ale czegoś brakuje i nie wiem co dalej;)
treść
wyznacz wszystkie wartości parametru k , dla których równanie \(x^2 -7*k*x+2,4*k=0\) ma dwa pierwiastki , których suma kwadratów jest równa 1.
rozwiązanie
\(x^2 -7*k*x+2,4*k=0\)
\(a różne od 0 bo 1 różne od 0\)
\(x_1^2+x_2^2=1\)
\(x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2*x_1*x_2=(7k)^2 - 2*2,4*k=49*k^2-4,8k\)
\(49*k^2-4,8k=1\)
\(49*k^2-4,8k-1=0\)
\(\Delta =(-4,8)^2-4*49*(-1)=219,04\)
\(x_1= \frac{4,8-14,8}{2*49} =- \frac{5}{49}\)
\(x_2= \frac{4,8+14,8}{98}= \frac{1}{5}\)
Jest dobrze, tylko najpierw trzeba sobie zapewnić, że te dwa pierwiastki są, czyli policzyć, jaki warunek spełniać musi liczba k, żeby
\(\Delta=49k^2-9,6k>0\\k<0\ \ lub\ \ k>\frac{48}{245}\)

ale jest dobrze, bo
\(k_1=-\frac{5}{49}<0\ \ i\ \ k_2=\frac{1}{5}>\frac{48}{245}\)
Magda135
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 5
Rejestracja: 26 sty 2015, 20:19
Podziękowania: 4 razy
Płeć:

Post autor: Magda135 »

Dziękuje.Mam jeszcze pytanie do ostatniego już zadania
Wyznacz wszystkie wartości parametrru k , dla których równanie \(x^2+(k+3)*x+2=0\) ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste x_1,x_2 takie że \(\frac{1}{x_1^2}+ \frac{1}{x_2^2} \ge k^2+5*k-3\)
i ja zrobiłam znowu do pewnego momentu i utknęłam
\(x^2+(k+3)*x+2=0\) ma różne rozwiązania gdy \Delta >0
\(\Delta =(k+3)^2 - 4*1*2=k^2+6*k+9-1=k^2+6*k+1>0\)
\(\Delta _k=36-4*1*1=32\)
\(x_1= \frac{-6-4 \sqrt{2} }{2}=-3-2 \sqrt{2}\)
\(x_2=-3+2 \sqrt{2}\)
\(x_1+x_2=-6\)
\(x_1*x_2=1\)
\(x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2*x_1x_2=36-2=34\)
irena
Guru
Guru
Posty: 22300
Rejestracja: 10 paź 2009, 19:08
Otrzymane podziękowania: 9858 razy
Płeć:

Post autor: irena »

\(x^2+(k+3)x+2=0\)

Równanie ma 2 różne pierwiastki, gdy:
\(\Delta>0\\(k+3)^2-8>0\\k^2+6k+1>0\\\Delta_1=36-4=32\\k_1=\frac{-6-4\sqrt{2}}{2}=-3-2\sqrt{2}\ \vee\ k_2=-3+2\sqrt{2}\\k\in(-\infty;\ -3-2\sqrt{2})\ \cup\ (-3+2\sqrt{2};\ \infty)\)

\(\frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2}=\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1^2x_2^2}=\frac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{(x_1x_2)^2}\\x_1+x_2=-k-3\\x_1x_2=2\\\frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2}=\frac{(-k-3)^2-4}{4}=\frac{k^2+3k+5}{4}\)

\(\frac{k^2+6k+5}{4}\ge k^2+5k-3\\k^2+6k+5\ge4k^2+20k-12\\3k^2+14k-17\le0\\\Delta_2=196+204=400\\k'=\frac{-14-20}{6}=-\frac{17}{3}\ \vee\ k"=\frac{-14+20}{6}=1\\k\in<-\frac{17}{3};\ 1>\)

Biorąc pod uwagę pierwszy warunek:

\(k\in(-3-2\sqrt{2};\ 1>\)
ODPOWIEDZ