Strona 1 z 1

Tablica Pitagorasa

: 11 lut 2010, 13:45
autor: Wiktoriiia
Poniżej przedstawiona jest tablica liczb (n \(\in\) N\(_+\)) , zwana tablicą Pitagorasa.
\(\begin{bmatrix}1&2&3&4&.&.&.&n \\ 2&4&6&8&.&.&.&2n \\ 3&6&9&12&.&.&.&3n\\ 4&8&12&16&.&.&.&4n\\ .&.&.&.& & & &. \\ .&.&.&.& & & &. \\ .&.&.&.& & & &.\\ n&2n&3n&4n&.&.&.&n^2 \end{bmatrix}\)

Udowodnij, że suma wszystkich liczb tej tablicy jest kwadratem liczby naturalnej.

Nie mam żadnego pomysłu nawet jak zacząć te zadanie. Bardzo proszę o pomoc :)

: 11 lut 2010, 14:02
autor: irena
\(1+2+3+..+n=S\\S=\frac{1+n}{2}\cdot\ n=\frac{n(n+1)}{2}\\2+4+6+...+2n=2(1+2+3+...+n)=2S\\3+6+...+3n=3S\\.\\.\\.\\n+2n+3n+...+n^2=nS\\S+2S+3S+...+nS=\frac{S+nS}{2}\cdot\ n=\frac{S(n+1)}{2}\cdot\ n=S\cdot\frac{n(n+1)}{2}\\S+2S+3S+...+nS=\frac{n(n+1)}{2}\cdot\frac{n(n+1)}{2}=(\frac{n(n+1)}{2})^2\)

Jedna z liczb: n lub n+1 to liczba parzysta, więc liczba \(\frac{n(n+1)}{2}\) jest liczbą naturalną. Czyli suma liczb tej tablicy jest kwadratem liczby naturalnej.

: 11 lut 2010, 15:23
autor: Wiktoriiia
Dziękuję :)