Wielomiany pierwiastki

Zadania niepasujące do innych kategorii.
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Rosee1993
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 381
Rejestracja: 04 gru 2012, 16:38
Podziękowania: 239 razy
Otrzymane podziękowania: 1 raz

Wielomiany pierwiastki

Post autor: Rosee1993 »

Dla jakiej wartości parametru m równanie \(\frac{1}{4}x^{4}-(m^{2}+m)x^{2}+m^{4}-1=0\) ma trzy różne rozwiązania?
Panko
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 2946
Rejestracja: 20 gru 2013, 21:41
Lokalizacja: Radom
Otrzymane podziękowania: 1556 razy
Płeć:

Re: Wielomiany pierwiastki

Post autor: Panko »

Równanie ma mieć dokładnie trzy różne rozwiązania .

\(\Delta =(m^2+m)^2-(m^4-1) =2m^3+m^2+1=(m+1)(2m^2-m+1)\)

Podstawiając \(x^2=t\) jest : \(\\)\(\frac{1}{4} t^2-(m^2+m)t+m^4-1=0\)
Powyższe równanie musi mieć dokładnie dwa różne pierwiastki aby równanie ze zmienną x miało dokładnie trzy różne pierwiastki. [/tex]
Wtedy\(\\) \(x^2=t_1= 2( m^2+m - \sqrt{ \Delta } )\) lub \(x^2=t_2= 2( m^2+m + \sqrt{ \Delta } )\)
Należy zauważyć ,że musi być : ( \(t_1>0\) \(i\) \(t_2=0\) ) lub ( \(t_2>0\) \(i\) \(t_1=0\) )
Stąd widać ,że warunkiem koniecznym dla wyjściowego równania jest aby jego pierwiastkiem była liczba \(x=0\)
.............................................................................................................................................
Stąd : \(\frac{1}{4} \cdot 0^4-(m^2+m) \cdot 0^2+m^4-1=0\) \(\\) \(\iff\) \(m=1\)\(\\)\(\vee\) \(\\)\(m=-1\)
Sprawdzamy bezpośrednio , że dobre jest \(m=1\) wtedy \(x \in \left\{\sqrt{8} ,-\sqrt{8} ,0\right\}\)
Liczba \(m=-1\) nie spełnia warunków zadania.
ODP : \(m=1\)
Rosee1993
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 381
Rejestracja: 04 gru 2012, 16:38
Podziękowania: 239 razy
Otrzymane podziękowania: 1 raz

Post autor: Rosee1993 »

Bardzo dziekuje :)
ODPOWIEDZ