twierdzenie pitagorasa Proszę bardzo o pomoc

Zadania niepasujące do innych kategorii.
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
ania555ania
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 8
Rejestracja: 21 maja 2014, 10:49
Podziękowania: 7 razy

twierdzenie pitagorasa Proszę bardzo o pomoc

Post autor: ania555ania »

1. wewnątrz prostokąta ABCD obrano punkt E. Oblicz jego odległość od wierzchołka A, jeśli |BE|=3, |CE|=4,|DE|=5
2. Wyznacz długość przekątnej trapezu równoramiennego jeżeli jego podstawy są równe a i b, a długość ramienia wynosi c.
3. Okręgi o promieniach 10 i 17 przecinają się w punktach A i B. Oblicz odległość między środkami tych okręgów jeśli |AB|=16
Panko
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 2946
Rejestracja: 20 gru 2013, 21:41
Lokalizacja: Radom
Otrzymane podziękowania: 1556 razy
Płeć:

Re: twierdzenie pitagorasa Proszę bardzo o pomoc

Post autor: Panko »

Nie wiem czy rozumiesz prostokątny układ współrzędnych. ?
Umieszczam prostokąt o bokach długości \(a,b\) tak , że
\(B=(0,0), A=(0,a),C=(b,0),D=(b,a)\)
Wtedy : oznaczam współrzędne punktu \(E=(x,y)\) i dla podanych długości otrzymuję trzy równości
\(x^2+y^2=3^2\)
\((b-x)^2+y^2=4^2\)
\((b-x)^2+(a-y)^2=5^2\)
Powyższe równości mogę widzieć jako zastosowanie tw . Pitagorasa do odpowiednich trójkątów prostokątnych.
Mam do policzenia wielkość : \(\sqrt{x^2+(y-a)^2}\) ---to jest ta odległość punktu \(E\) od wierzchołka \(A\).
Dostaję kolejno : \(y^2=3^2-x^2\)
\((b-x)^2+ ( 3^2-x^2 )=4^2\)\
\((b-x)^2= 4^2-3^2+x^2\)
\(( 4^2-3^2+x^2 ) + (a-y)^2=5^2\)
Stąd : \(x^2+(a-y)^2= 5^2-4^2+3^2\)
i dalej szukana odległość \(|AE|= \sqrt{x^2+(y-a)^2} = \sqrt{ 5^2-4^2+3^2} = 3\sqrt{2}\)
ania555ania
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 8
Rejestracja: 21 maja 2014, 10:49
Podziękowania: 7 razy

Post autor: ania555ania »

trudne to ale spróbuję zrozumieć:) bardzo dziękuję:)
Panko
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 2946
Rejestracja: 20 gru 2013, 21:41
Lokalizacja: Radom
Otrzymane podziękowania: 1556 razy
Płeć:

Post autor: Panko »

2. Przyjmuję \(b>a\)
Wtedy odcinek \(b\) dłuższa podstawa składa się kolejno z \(\\)\(b= \frac{b-a}{2} +a+ \frac{b-a}{2}\)
oznaczam przekątną : \(d\)
oznaczam wysokość trapezu : \(h\)
Powstają dwa trójkąty prostokątne do których stosuję tw Pitagorasa
\(c^2=h^2+ (\frac{b-a}{2} )^2\)
\(( \frac{b-a}{2} +a )^2 +h^2=d^2\)
Rugując \(h^2\) z obu dostaję równanie : \(c^2- (\frac{b-a}{2} )^2 =h^2= d^2-( \frac{b-a}{2} +a )^2\)

Skąd jest : \(c^2- (\frac{b-a}{2} )^2 = d^2-( \frac{b-a}{2} +a )^2\)
A stąd \(\\) \(d^2= c^2- (\frac{b-a}{2} )^2+( \frac{b-a}{2} +a )^2\)
Uwaga : \(\frac{b-a}{2} +a =\frac{b+a}{2}\)
oraz \((\frac{b+a}{2} )^2- (\frac{b-a}{2} )^2=2ab\)
Stąd po redukcji : \(d= \sqrt{c^2+2ab}\)
Galen
Guru
Guru
Posty: 18457
Rejestracja: 17 sie 2008, 15:23
Podziękowania: 4 razy
Otrzymane podziękowania: 9161 razy

Post autor: Galen »

Zad.1
Proponuję inną drogę.
Narysuj prostokąt ABCD i zaznacz punkt E.
Przez punkt E poprowadź równoległe do boków prostokąta.
Podzielą one bok AB na odcinki długości n i m (n+m=a),
bok BC na odcinki długości l i k (l+k=b).
\(|BE|=3\;\;\;\;\;i\;\;\;\;m^2+l^2=3^2\\|EC|=4\;\;\;\;i\;\;\;m^2+k^2=4^2\\|ED|=5\;\;\;\;\;i\;\;\;\;n^2+k^2=5^2\\szukasz\\|EA|=x\;\;\;\;\;i\;\;\;\;n^2+l^2=x^2\)
Z układu trzech równań masz dojść do wzoru ostatniego.
\(\begin{cases} m^2+k^2=16\;\;\; \So \;\;\;\;m^2=16-k^2\\l^2+m^2=9\;\;wstaw\;wzór\;na\;m^2\;i\;jest\;l^2+16-k^2=9\;\; \So \;k^2=l^2+7\\k^2+n^2=25\end{cases}\)
Do ostatniego równania wstaw wzór na k kwadrat i otrzymasz szukaną sumę kwadratów.
\(l^2+7+n^2=25\\l^2+n^2=18\;\;\;czyli\;\;\;x^2=18\\x= \sqrt{18}=3 \sqrt{2}\)
Wszystko jest trudne,nim stanie się proste.
Galen
Guru
Guru
Posty: 18457
Rejestracja: 17 sie 2008, 15:23
Podziękowania: 4 razy
Otrzymane podziękowania: 9161 razy

Post autor: Galen »

Narysuj okrąg mniejszy o środku O i większy o środku S.
Podpisz punkty przecięcia okręgów A i B.
Dorysuj odcinki AB oraz OS.Odcinki te przecinają się pod kątem prostym w punkcie P.
Wpisz dane:
\(|AP|=|BP|=8\\|OA|=|OB|=10\\|SA|=|SB|=17\)
Z tw.Pitagorasa oblicz |OP| i |PS|
\(|OP|^2+8^2=10^2\;\;\;\;i\;\;\;\;\;|SP|^2+8^2=17^2\)
Z tych równań oblicz |OP|i |SP|
\(|OP|^2=10^2-8^2\;\;\;\; \So \;\;\;\;\;\;|OP|=6\\
|SP|^2=17^2-8^2\;\;\;\;\;\; \So \;\;\;\;\;\;\;|SP|=15\\|OS|=|OP|+|SP|=6+15=21\)
Wszystko jest trudne,nim stanie się proste.
ania555ania
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 8
Rejestracja: 21 maja 2014, 10:49
Podziękowania: 7 razy

Post autor: ania555ania »

DUUUUŻO JAŚNIEJ DZIĘKUJĘ:)
ODPOWIEDZ