kąty spełniające warunek

[alttair]

Witam,
Czy mógłby mi ktoś wytłumaczyć te dwie linijki w rozwiązaniu:

Skąd z tego:
\(2 cos \alpha cos \beta = 1 - cos (180^ \circ - ( \alpha + \beta ) )\)
powstało to:
\(2 cos \alpha cos \beta = 1 + cos ( \alpha + \beta )\)
Chodzi mi przede wszystkim o prawą stronę równania, bo lewa zostaje bez zmian.
Wg mnie (jako że \(cos 180^ \circ = -1\)) jest:

\(2 cos \alpha cos \beta = 1 + 1 + cos ( \alpha + \beta )\) czyli:
\(2 cos \alpha cos \beta = 2 + cos ( \alpha + \beta )\)

[kacper218]

a znasz wzory redukcyjne? to nie działa tak doczytaj w karcie wzorów

[alttair]

No więc jest tak:
\(cos ( 180^ \circ - ( \alpha + \beta )\)
\(\alpha , \beta \in ( 0, \pi )\)
to nie wiemy czy ten kąt leży w pierwszej czy drugiej ćwiartce.
Bo jeśli \(\alpha = \beta = 60^ \circ\) to suma tych kątów da \(120^ \circ\)
A więc \(180^ \circ - 120^ \circ = 60^ \circ\) , więc jest to 1 ćwiartka.
Zatem z \(cos ( 180^ \circ - ( \alpha + \beta )\) zrobi się:
\(cos ( \alpha + \beta )\)
Ale jeśli np. \(\alpha = \beta = 30^ \circ\) to suma tych kątów będzie \(60^ \circ\).
A więc \(180^ \circ - 60^ \circ = 120^ \circ\) , a to już jest 2 ćwiartka.
I wtedy z \(cos ( 180^ \circ - ( \alpha + \beta )\) zrobi się:
\(-cos ( \alpha + \beta )\)

No więc są 2 możliwości

[kacper218]

jeśli mamy \(\alpha +\beta =30\) to \(180 -30=150\) czyli mamy wartość dodatnia i ujemna
jeśli \(\alpha +\beta =150\) to \(180 -150=30\) czyli mamy wartość dodatnia i ujemna
Zamieszałes się
Wzory redukcyjne mają to do siebie,że zachodzą dla dowolnych kątów

[Galen]

Nie musisz wnikać w szczegóły w nawiasach
\(sin(180-x)=sinx\\
cos(180-x)=-cosx\\
tg(180-x)=-tgx\\
ctg(180-x)=-ctgx\)
x jest tu dowolną wartością kąta.
Przy redukcji przez 180 stopni i przez 360 stopni funkcja pozostaje bez zmian,ale jeśli jest (180-x) to tylko sin
ma znak +,pozostałe dostają minus.
Przy redukcji z użyciem (180+x) tg i ctg mają plus,a sin i cos minus.
\(sin(180+x)=-sinx\\cos(180+x)=-cosx\\tg(180+x)=tgx\\ctg(180+x)=ctgx\)

Przy redukcji przez 90 stopni i przez 270 stopni funkcja przechodzi na kofunkcję,a o znaku decyduje
funkcja wyjściowa.
\(sin(90+120^o)=cos120^o=cos(180-60^o)=-cos60^o=-\frac{1}{2}\)
To masz jako przykład zastosowania wzorów redukcyjnych bez wnikania w szczegóły w nawiasie.

[alttair]

Wielkie dzięki, teraz dopiero zrozumiałem, a matura za lekko ponad tydzień