Okrąg - styczne, położenie, obraz.

[Karkalalka]

Proszę o rozpisanie tych 3 podpunktów:

1. Dany jest okrąg \(x^2+y^2-2x=1\)

a.) napisz równania stycznych przechodzących przez punkt A=\((- \sqrt{2}+1, 2)\)
b.) Zbadaj położenie okręgu \(x^2+y^2-12x+24y+36=0\) względem danego okręgu
c.) Znajdź obraz danego okręgu w symetrii względem prostej \(y-1=0\)

Z góry dziękuję!

[Panko]

c) \(x^2+y^2-2x=1\) to w postaci kanonicznej : \((x-1)^2+y^2=2\) czyli \(S=(1,0)\) , \(r= \sqrt{2}\)
Obrazem punktu \(S=(1,0)\) ( środka tego okręgu ) w symetrii osiowej względem prostej \(y=1\) jest punkt \(S_1=( 1,2 )\) .
Promień się zachowuje \(r_1=r = \sqrt{2}\) ,symetria osiowa to izometria, czyli przekształca okrąg na okrąg do niego przystający
Równanie obrazu okręgu to : \((x-1)^2+(y-2)^2=2\)

b) \(x^2+y^2-12x+24y+36=0\) to\(\\) \((x-6)^2+(y+12)^2=144\) czyli \(S_1=(6,-12 )\) , \(r_1=12\)
Pierwszy okrąg ma : \(S=(1,0)\) , \(r= \sqrt{2}\)
Odległość pomiędzy ich środkami : \(d=|SS_1|= \sqrt{ ( 1-6 )^2 +( 0+12 )^2}=13\)
Oraz \(|r-r_1|<d<r+r_1\) bo \(|12- \sqrt{2}| <13<12+ \sqrt{2}\)

A stąd oba okręgi przecinają się w dwóch punktach.

[kukise]

Proszę o rozpisanie tych 3 podpunktów:

1. Dany jest okrąg \(x^2+y^2-2x=1\)

a.) napisz równania stycznych przechodzących przez punkt A=\((- \sqrt{2}+1, 2)\)

Ja robię to tak:
Z danych mamy środek okręgu: \(S=(1,0)\) oraz \(r=\sqrt{2}\)

Pierwsze co robię, to sprawdzam czy styczna nie ma postaci: \(y=a\) lub \(x=a\).
Czyli do współrzędnych środka okręgu dodaję (odejmuję) promień:
tak zauważam, że: \(x=1- \sqrt{2}\) pierwsza styczna.

Dzięki temu wiem, że drugą styczną musi być postaci: \(k: ; ; y=ax+b\).
Dodatkowo z punktu \(A=(- \sqrt{2}+1, 2)\) mam: \(k: ; ; y=ax+2-(1-\sqrt{2})a\)

Korzystając z wzoru na odległość punktu \(S(1,0)\) od prostej \(k: ; ; ax-y+2-(1-\sqrt{2})a=0\), otrzymuję:

\(\frac{|a \cdot 1+(-1) \cdot 0 +2-(1-\sqrt{2})a|}{\sqrt{a^2+(-1)^2}}=\sqrt{2} \\
\frac{|2+\sqrt{2}a|}{\sqrt{a^2+1}}=\sqrt{2} \\
|2+\sqrt{2}a|=\sqrt{2(a^2+1)} \\
4+4\sqrt{2}a+2a^2=2a^2+2 \\
a=-\frac{\sqrt{2}}{4}\)

Styczna: \(y=-\frac{\sqrt{2}}{4}x+\frac{\sqrt{2}+3}{2}\)
Tak, więc ostatecznie styczne do okręgu to:

\(x=1- \sqrt{2} \\
y=-\frac{\sqrt{2}}{4}x+\frac{\sqrt{2}+3}{2}\)

[radagast]

Tak, więc ostatecznie styczne do okręgu to:

\(x=1- \sqrt{2} \\
y=-\frac{\sqrt{2}}{4}x+\frac{\sqrt{2}+3}{2}\)

pierwsza dobra, druga nie:

ScreenHunter_1019.jpg (23.7 KiB) Przejrzano 1453 razy

[kukise]

Dzięki za czujność radagast,
głupi błąd obliczeniowy - no już nie chcą się układać w głowie te obliczenia

Prawidłowy wynik to: \(y=-\frac{\sqrt{2}}{4}x+\frac{\sqrt{2} +6}{4}\)