W prostokącie ABCD dane są C = (-2,2), \(\vec{AC}\) = [3,3]. Wiadomo też, że B \(\in\) l: x - 2y = 0.
a) Znajdź współrzędne pozostałych wierzchołków prostokąta.
b) Dla jakich punktów B, D o całkowitych współrzędnych wyznacz miarę kąta nachylenia przekątnej BD prostokąta do osi OX.
znależć współrzędne prostokąta
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
a)
\(A=(a_1;a_2)\\\vec{AC}=[3,3]\\\vec{AC}=[-2-a_1,2-a_2]\\ \begin{cases}-2-a_1=3\\2-a_2=3 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}a_1=-5\\a_2=-1 \end{cases} \\A=(-5,\ -1)\)
Punkt B leży na prostej l i na okręgu o średnicy AC. O- środek tego okręgu.
\(O=(\frac{-5-2}{2},\ \frac{2-1}{2})=(-\frac{7}{2};\ \frac{1}{2})\)
OA- promien okręgu
\(|OA|=\sqrt{(-5-(-\frac{7}{2}))^2+(-1-\frac{1}{2})^2}=\sqrt{\frac{18}{4}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}\)
Równanie tego okręgu:
\((x+\frac{7}{2})^2+(y-\frac{1}{2})^2=\frac{18}{4}\\x^2+7x+\frac{49}{4}+y^2-y+\frac{1}{4}=\frac{18}{4}\\x^2+7x+y^2-y+8=0\)
Równanie prostej l
\(x-2y=0\\x=2y\)
\(\begin{cases}x=2y\\x^2+7x+y^2-y+8=0 \end{cases} \\4y^2+14y+y^2-y+8=0\\5y^2+13y+8=0\\\Delta=169-160=9\\y_1=\frac{-13-3}{10}=-\frac{8}{5} \vee y_2=\frac{-13+3}{10}=-1\\x_1=-\frac{16}{5} \vee x_2=-2\)
Są dwa takie punkty:
\(B_1=(-\frac{16}{6};\ -\frac{8}{5})\ \vee \ B_2=(-2;\ -1)\)
\(\vec{OD}=\vec{BO}\\D=(d_1,\ d_2)\\\vec{B_1O}=[-\frac{7}{2}+\frac{16}{5};\ \frac{1}{2}+\frac{8}{5}]=[\frac{-35+32}{10};\ \frac{5+16}{10}]=[-\frac{3}{10};\ \frac{21}{10}]\\\vec{OD}=[d_1+\frac{7}{2};\ d_2-\frac{1}{2}]\\ \begin{cases}d_1+\frac{7}{2}=-\frac{3}{10}\\d_2-\frac{1}{2}=\frac{21}{10} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}d_1=-\frac{19}{5}\\d_2=\frac{13}{5} \end{cases} \\D_1=(-\frac{19}{5};\ \frac{13}{5})\)
\(\vec{B_2O}=[-\frac{7}{2}+2;\ \frac{1}{2}+1]=[-\frac{3}{2};\ \frac{3}{2}]\)
\([d_1+\frac{7}{2};\ d_2-\frac{1}{2}]=[-\frac{3}{2};\ \frac{3}{2}]\\ \begin{cases}d_1+\frac{7}{2}=-\frac{3}{2}\\d_2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}d_1=-5\\d_2=2 \end{cases} \\D_2=(-5;\ 2)\)
\(A=(a_1;a_2)\\\vec{AC}=[3,3]\\\vec{AC}=[-2-a_1,2-a_2]\\ \begin{cases}-2-a_1=3\\2-a_2=3 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}a_1=-5\\a_2=-1 \end{cases} \\A=(-5,\ -1)\)
Punkt B leży na prostej l i na okręgu o średnicy AC. O- środek tego okręgu.
\(O=(\frac{-5-2}{2},\ \frac{2-1}{2})=(-\frac{7}{2};\ \frac{1}{2})\)
OA- promien okręgu
\(|OA|=\sqrt{(-5-(-\frac{7}{2}))^2+(-1-\frac{1}{2})^2}=\sqrt{\frac{18}{4}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}\)
Równanie tego okręgu:
\((x+\frac{7}{2})^2+(y-\frac{1}{2})^2=\frac{18}{4}\\x^2+7x+\frac{49}{4}+y^2-y+\frac{1}{4}=\frac{18}{4}\\x^2+7x+y^2-y+8=0\)
Równanie prostej l
\(x-2y=0\\x=2y\)
\(\begin{cases}x=2y\\x^2+7x+y^2-y+8=0 \end{cases} \\4y^2+14y+y^2-y+8=0\\5y^2+13y+8=0\\\Delta=169-160=9\\y_1=\frac{-13-3}{10}=-\frac{8}{5} \vee y_2=\frac{-13+3}{10}=-1\\x_1=-\frac{16}{5} \vee x_2=-2\)
Są dwa takie punkty:
\(B_1=(-\frac{16}{6};\ -\frac{8}{5})\ \vee \ B_2=(-2;\ -1)\)
\(\vec{OD}=\vec{BO}\\D=(d_1,\ d_2)\\\vec{B_1O}=[-\frac{7}{2}+\frac{16}{5};\ \frac{1}{2}+\frac{8}{5}]=[\frac{-35+32}{10};\ \frac{5+16}{10}]=[-\frac{3}{10};\ \frac{21}{10}]\\\vec{OD}=[d_1+\frac{7}{2};\ d_2-\frac{1}{2}]\\ \begin{cases}d_1+\frac{7}{2}=-\frac{3}{10}\\d_2-\frac{1}{2}=\frac{21}{10} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}d_1=-\frac{19}{5}\\d_2=\frac{13}{5} \end{cases} \\D_1=(-\frac{19}{5};\ \frac{13}{5})\)
\(\vec{B_2O}=[-\frac{7}{2}+2;\ \frac{1}{2}+1]=[-\frac{3}{2};\ \frac{3}{2}]\)
\([d_1+\frac{7}{2};\ d_2-\frac{1}{2}]=[-\frac{3}{2};\ \frac{3}{2}]\\ \begin{cases}d_1+\frac{7}{2}=-\frac{3}{2}\\d_2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}d_1=-5\\d_2=2 \end{cases} \\D_2=(-5;\ 2)\)