Potęgi liczby naturalnej

[Januszgolenia]

O pewnej liczbie naturalnej wiadomo, że jest czwartą potęgą liczby naturalnej, szóstą potęgą liczby naturalnej oraz dziewiątą potęgą liczby naturalnej. Udowodnij, że liczba ta musi być trzydziestą szóstą potęgą liczby naturalnej.

[sebnorth]

Zauważmy, że jeśli \(a^4 = b^9\) to liczby \(a\) i \(b\) mają w rozkładzie te same liczby pierwsze

\(a = p_1^{x_1} \cdot \ldots p_k^{x_k} \\

b= p_1^{y_1} \cdot \ldots p_k^{y_k} \\

a^4 = p_1^{4x_1} \cdot \ldots p_k^{4x_k} \\

b^9 = p_1^{9y_1} \cdot \ldots p_k^{9y_k}\)

zatem

\(4x_i = 9y_i, i = 1, \ldots, k\)

stąd \(4 \mid y_i\) oraz \(9 \mid x_i, i = 1, \ldots, k\)

\(y_i = 4c_i, x_i = 9d_i, i = 1, \ldots, k\) dla pewnych \(c_i, d_i\)

\(a^4 = p_1^{36d_1} \cdot \ldots p_k^{36d_k} = (p_1^{d_1} \cdot \ldots p_k^{d_k} )^{36}\)

[Januszgolenia]

OK dzięki! Ale to jest zadanie dla uczniów gimnazjum. Można to jakoś inaczej im wytłumaczyć?

[irena]

\(a\in N\\a=n^4=m^9\\n,\ m\in N\)

\(n^4=m^9\\n=\sqrt[4]{m^9}=m^2\cdot \sqrt[4]{m}\\\sqrt[4]{m}\in N\\m=k^4\\k\in N\\a=m^9=(k^4)^9=k^{36}\)

[Januszgolenia]

A zamiast p nie powinno być m bo nie ma stwierdzenia , że p\(\in\)N

[irena]

A zamiast p nie powinno być m bo nie ma stwierdzenia , że p\(\in\)N

Tak, zaraz poprawię (to zamiana liter przez przeoczenie).