Poniżej przedstawiona jest tablica liczb \((n \in N_+)\), zwana tablicą Pitagorasa
1 2 3 4 . . . n
2 4 6 8 . . . 2n
3 6 9 12 . . . 3n
4 8 12 16 . . . 4n
. . . . .
. . . . .
. . . . .
n 2n 3n 4n n*n
Udowodnij, że suma wszystkich liczb tej tablicy jest kwadratem liczby naturalnej.
Tablica Pitagorasa
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
Januszgolenia
- Fachowiec
- Posty: 1608
- Rejestracja: 01 lip 2010, 10:44
- Podziękowania: 1680 razy
- Otrzymane podziękowania: 3 razy
-
josselyn
- Expert
- Posty: 4026
- Rejestracja: 01 kwie 2010, 15:35
- Lokalizacja: pod Lublinem - Niedrzwica
- Podziękowania: 3 razy
- Otrzymane podziękowania: 1914 razy
- Płeć:
Re: Tablica Pitagorasa
Mozna tez taK:
\(1+2+..+n=0.5(n+1)n
2+4+...+2n=0.5(2n+2)n
n+2n+...+n^2=0.5(2n+n^2)n
0.5(n+1)n+0.5n(2n+2)+...+0.5(2n+n^2)n=0.5n \left[ 1+n+2+2n+...+n^2+2n\right]=0.5n \left[ 1+2+..+n+n+2n+..+n^2\right] =
0.5n \left[ 0.5(n+1)n+n(1+2+..+n)\right]=\)
\(=0.5n[ 0.5(n+1)n+n0.5n(n+1) \right]=0.5n \left[ 0.5(n+1)(n+1)\right]= \left[ 0.5n(n+1)\right] ^2
0.5n(n+1)\in N\)
pomiewaz jak mamy 2 kolejne liczby tojedna z nivh jest parzysta
\(1+2+..+n=0.5(n+1)n
2+4+...+2n=0.5(2n+2)n
n+2n+...+n^2=0.5(2n+n^2)n
0.5(n+1)n+0.5n(2n+2)+...+0.5(2n+n^2)n=0.5n \left[ 1+n+2+2n+...+n^2+2n\right]=0.5n \left[ 1+2+..+n+n+2n+..+n^2\right] =
0.5n \left[ 0.5(n+1)n+n(1+2+..+n)\right]=\)
\(=0.5n[ 0.5(n+1)n+n0.5n(n+1) \right]=0.5n \left[ 0.5(n+1)(n+1)\right]= \left[ 0.5n(n+1)\right] ^2
0.5n(n+1)\in N\)
pomiewaz jak mamy 2 kolejne liczby tojedna z nivh jest parzysta
Znasz odpowiedź do zadania, to ją podaj. Łatwiej będzie sprawdzić czy w rozwiązaniu zadania nie ma błędu.
Otrzymałeś odpowiedź do umieszczonego zadania? Podziękuj autorowi za rozwiązanie!!
„Jeżeli chcecie nauczyć się pływać ,
To trzeba, żebyście weszli do wody.
Jeżeli zamierzacie nauczyć się rozwiązywania zadań,
to trzeba, żebyście je rozwiązywali”
George Polya
Otrzymałeś odpowiedź do umieszczonego zadania? Podziękuj autorowi za rozwiązanie!!
„Jeżeli chcecie nauczyć się pływać ,
To trzeba, żebyście weszli do wody.
Jeżeli zamierzacie nauczyć się rozwiązywania zadań,
to trzeba, żebyście je rozwiązywali”
George Polya
-
Galen
- Guru
- Posty: 18457
- Rejestracja: 17 sie 2008, 15:23
- Podziękowania: 4 razy
- Otrzymane podziękowania: 9161 razy
Policz sumy w poszczególnych wierszach tablicy:
\(W_1=\frac{1+n}{2}\cdot n\\
W_2=\frac{2+2n}{2}\cdot n\\
W_3=\frac{3+3n}{2}\cdot n\\
W_4=\frac{4+4n}{2}\cdot n\\
.....................\\
W_n=\frac{n+n^2}{2}\cdot n\)
Sumujesz wszystkie wiersze:
\(S=W-1+W_2+W_3+W_4+...+W_n=\frac{1}{2}\cdot n\cdot [(n+1)+2(n+1)+3(n+1)+4(n+1)+...+n(n+1)]=\\
=\frac{1}{2}n\cdot (n+1)[1+2+3+4+...+n]=\frac{1}{2}n(n+1)(\frac{1+n}{2}\cdot n)=\frac{1}{4}n(n+1)\cdot n\cdot (n+1)=\\
=(\frac{1}{2}n(n+1))^2\)
Jest to więc kwadrat liczby naturalnej.Zauważ ,że \(n(n+1)\) na pewno dzieli się przez 2,bo są to dwie
kolejne liczby naturalne.
\(W_1=\frac{1+n}{2}\cdot n\\
W_2=\frac{2+2n}{2}\cdot n\\
W_3=\frac{3+3n}{2}\cdot n\\
W_4=\frac{4+4n}{2}\cdot n\\
.....................\\
W_n=\frac{n+n^2}{2}\cdot n\)
Sumujesz wszystkie wiersze:
\(S=W-1+W_2+W_3+W_4+...+W_n=\frac{1}{2}\cdot n\cdot [(n+1)+2(n+1)+3(n+1)+4(n+1)+...+n(n+1)]=\\
=\frac{1}{2}n\cdot (n+1)[1+2+3+4+...+n]=\frac{1}{2}n(n+1)(\frac{1+n}{2}\cdot n)=\frac{1}{4}n(n+1)\cdot n\cdot (n+1)=\\
=(\frac{1}{2}n(n+1))^2\)
Jest to więc kwadrat liczby naturalnej.Zauważ ,że \(n(n+1)\) na pewno dzieli się przez 2,bo są to dwie
kolejne liczby naturalne.
Wszystko jest trudne,nim stanie się proste.