Funkcja wykładnicza

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
piwowarczyk85
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 15
Rejestracja: 28 lut 2010, 22:36

Funkcja wykładnicza

Post autor: piwowarczyk85 »

Hej mam kilka zadanek z funkcji wykładniczej z którymi nie potrafię sobie poradzić. Czy byłby ktoś tak super miły i pomógł mi w ich rozwiązaniu? Oto one:

1. Uzasadnij, że dla dowolnych liczb \(a \in R_{+}, k,n \in R\) zachodzi równość
\((a^{n}+ \frac{1}{a^{n}})(a^{k}+ \frac{1}{a^{k}})=a^{n+k}+ \frac{1}{a^{n+k}}+a^{n-k}+ \frac{1}{a^{n-k}}\)
Wykorzystując tę równość i wiedząc, że \(a+ \frac{1}{a}=3\) oblicz: \(a^{5}+ \frac{1}{a^{5}}\)


2. Funkcja f okreslona jest wzorem \(f(x)=|5^{x}+b|\), gdzie b jest pewną liczbą rzeczywistą.
a) Znajdź argumenty, dla których funkcja f przyjmuje wartość \(\sqrt{5 \frac{19}{25} }\), jeśli \(b=-2,6\)
b) Określ liczbę rozwiązań równania \(f(x)=m\) w zależności od wartości parametru m wiedząc, że \(b\) jest liczbą ujemną


3. Funkcja f określona jest wzorem \(f(x)=6^{x}-6^{-x}\).
a) Wykaż, że funkcja f dla przeciwnych argumentów przyjmuje przeciwne wartości
b) Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej \(n\) liczba \(6^{n} \cdot f(n)\) jest iloczynem dwóch kolejnych liczb nieparzystych


4. Funkcja f określona jest wzorem \(3^{x}+3^{-x}\)
a) Uzasadnij, że wykres funkcji jest symetryczny względem osi \(OY\)
b) Wyznacz najmniejszą wartość funkcji


5. Wyznacz te wartości parametru k, dla których funkcja \(f(x)=2^{x^{2}+kx+k}\) nie przyjmuje wartości mniejszych od 1


6. Ustal liczbę rozwiązań równania \(3^{x} \cdot (x+3)=x+6\)


7. Dane jest równanie \(x^{2}+(9^{a}=3^{a})x+27^{a}=0\), w którym niewiadomą jest \(x\). Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(a\) dane równanie ma co najmniej jedno rozwiązanie


Z góry bardzo dziękuje za wszelaką pomoc w rozkminieniu tych zadanek.
Obiecuje "+"iki :)
irena
Guru
Guru
Posty: 22300
Rejestracja: 10 paź 2009, 19:08
Otrzymane podziękowania: 9858 razy
Płeć:

Post autor: irena »

1.
\(a+\frac{1}{a}=3\\(a+\frac{1}{a})^2=9=a^2+\frac{1}{a^2}+2\\a^2+\frac{1}{a^2}=7\\(a^2+\frac{1}{a^2})(a+\frac{1}{a})=a^3+\frac{1}{a^3}+a+\frac{1}{a}\\7\cdot3=a^3+\frac{1}{a^3}+3\\a^3+\frac{1}{a^3}=21-3=18\\(a^3+\frac{1}{a^3})(a^2+\fra{1}{a^2})=a^5+\frac{1}{a^5}+a+\frac{1}{a}\\18\cdot7=a^5+\frac{1}{a^5}+3\\a^5+\frac{1}{a^5}=126-3=123\)
irena
Guru
Guru
Posty: 22300
Rejestracja: 10 paź 2009, 19:08
Otrzymane podziękowania: 9858 razy
Płeć:

Post autor: irena »

2.
\(f(x)=|5^x+b|\)

a)
\(f(x)=\sqrt{5\frac{19}{25}}=\sqrt{\frac{144}{25}}=\frac{12}{5}=2,4\)

\(|5^x-2,6|=2,4 \Leftrightarrow 5^x-2,6=2,4\ \vee \ 5^x-2,6=-2,4 \Leftrightarrow 5^x=0,2\ \vee \ 5^x=5 \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow 5^x=\frac{1}{5}\ \vee 5^x=5 \Leftrightarrow x=-1\ \vee \ x=1\)

b)

b<0

Funkcja \(g(x)=5^x+b\) przyjmuje wartości \((b;\ \infty )\). Funkcja \(f(x)=|5^x+b|\) przyjmuje wartości ze zbioru \(<0;\ \infty )\). Ponieważ funkcja g(x) ma asymptotę poziomą o równaniu y=b, więc gunkcja f(x) ma asymptotę poziomą o równaniu y=-b.

- Dla \(m \in (- \infty ;\ 0)\) to równanie nie ma rozwiązań.

- Dla \(m \in <-b;\ \infty ) \cup \left\{0 \right\}\) równanie ma 1 rozwiązanie.

- Dla \(m \in (0;\ -b)\) równanie ma 2 rozwiązania.
irena
Guru
Guru
Posty: 22300
Rejestracja: 10 paź 2009, 19:08
Otrzymane podziękowania: 9858 razy
Płeć:

Post autor: irena »

3.
\(f(x)=6^x-6^{-x}\)

a)
\(f(x-)=6^{-x}-6^x=-(6^x-6^{-x})=-f(x)\)

b)
\(n \in N\\6^n\cdot\ f(n)=6^n(6^n-6^{-n})=6^{2n}-1=(6^n-1)(6^n+1)\)

\(6^n\) jest liczba parzystą, więc \(6^n-1\ i\ 6^n+1\) są liczbami nieparzystymi, różniącymi się o 2. Są więc kolejnymi liczbami nieparzystymi.
BetrR65
Często tu bywam
Często tu bywam
Posty: 159
Rejestracja: 21 lut 2010, 12:51
Otrzymane podziękowania: 1 raz

Post autor: BetrR65 »

4.
Funkcja
\(f(x)=3^x+3^{-x}
f(-x)=3^{-x}+3^x=f(x)\)

Czyli jest funkcją parzystą bo f(-x)=f(x). A ponieważ jest parzysta, więc jest symetryczna względem osi OY.
Dla liczb dodatnich funkcja jest rosnąca, więc w punkcie symetrii posiada wartość najmniejszą.
Zatem
\(y_{min}=y(0)=2\)
BetrR65
Często tu bywam
Często tu bywam
Posty: 159
Rejestracja: 21 lut 2010, 12:51
Otrzymane podziękowania: 1 raz

Post autor: BetrR65 »

5. Funkcja nie przyjmuje wartości mniejszych od 1, tzn. przyjmuje wartości większe lub równe 1.
\(2^{x^2+kx+k} \ge 2^0
x^2+kx+k \ge 0\)

Ta nierówność (kwadratowa) będzie zawsze spełniona, gdy
\(\Delta \le 0\)
BetrR65
Często tu bywam
Często tu bywam
Posty: 159
Rejestracja: 21 lut 2010, 12:51
Otrzymane podziękowania: 1 raz

Post autor: BetrR65 »

6.
\(3^x= \frac{x+6}{x+3}=1+ \frac{3}{x+3}\)
Po lewej stronie mamy funkcję wykładniczą, po prawej homograficzną z asymptotami y=1 i x=-3.
Należy narysowac te dwa wykresy i z wykresu odczytać, w ilu punktach się przecinają.
BetrR65
Często tu bywam
Często tu bywam
Posty: 159
Rejestracja: 21 lut 2010, 12:51
Otrzymane podziękowania: 1 raz

Post autor: BetrR65 »

piwowarczyk85 pisze: 7. Dane jest równanie \(x^{2}+(9^{a}=3^{a})x+27^{a}=0\), w którym niewiadomą jest \(x\). Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(a\) dane równanie ma co najmniej jedno rozwiązanie
O co chodzi z tymi dwiema równościami???

Polecenie rozumiem tak, że ponieważ jest to funkcja kwadratowa, która ma mieć co najmniej jedno rozwiązania należy policzyć \(\Delta\) i pokazać, ze jest ona nieujemna.
ODPOWIEDZ