granice

[Mi82]

Proszę powiedzcie, jak rozwiązać takie przykłady (polecenie: oblicz):

a)\(\Lim_{x\to -1 }(x^3-4)(2-x)\)
b)\(\Lim_{x\to -1} \frac{x^2-16}{x+4}\)
c)\(\Lim_{x\to -2} \frac{(x^2+x+2)}{(x^2-3x-10)}\)
d)\(\Lim_{x\to 0} \frac{ \sqrt{x+4}-2 }{5x}\)
e)\(\Lim_{x\to 1^-} \frac{(x-1)^2}{|x-1|}\)
f)\(\Lim_{x\to + \infty } \frac{2x-3x^2}{2x^2+x-5}\)
g)\(\Lim_{x\to - \infty } (6x^3-4x^2)\)
h)\(\Lim_{x\to -4} \frac{-3}{(x+4)^2}\)

zrobiłam przykłady a, b i c i moje wyniki to:
a) -15
b) -5
c) 0
ale nie wiem czy są prawidłowe ... .

[eresh]

Proszę powiedzcie, jak rozwiązać takie przykłady (polecenie: oblicz):

a)\(\Lim_{x\to -1 }(x^3-4)(2-x)\)

\(\Lim_{x\to -1 }(x^3-4)(2-x)=(-1-4)(2+1)=-15\)

[eresh]

b)\(\Lim_{x\to -1} \frac{x^2-16}{x+4}\)

\(\Lim_{x\to -1} \frac{x^2-16}{x+4}=\frac{1-16}{-1+4}=\frac{-15}{3}=-5\)

[eresh]

c)\(\Lim_{x\to -2} \frac{(x^2+x+2)}{(x^2-3x-10)}\)

\(\Lim_{x\to -2} \frac{(x^2+x+2)}{(x^2-3x-10)}=[\frac{5}{0}]\\
\Lim_{x\to -2^-} \frac{(x^2+x+2)}{(x^2-3x-10)}=[\frac{5}{0^+}]=+\infty\\
\Lim_{x\to -2^+} \frac{(x^2+x+2)}{(x^2-3x-10)}=[\frac{5}{0^-}]=-\infty\)

[eresh]

P
d)\(\Lim_{x\to 0} \frac{ \sqrt{x+4}-2 }{5x}\)
.

\(\Lim_{x\to 0}\frac{ \sqrt{x+4}-2 }{5x}=[\frac{0}{0}]=\Lim_{x\to 0}\frac{x+4-4}{5x(\sqrt{x+4}+2)}=\Lim_{x\to 0}\frac{1}{5(\sqrt{x+4}+2)}=\frac{1}{5\cdot 4}=\frac{1}{20}\)

[eresh]

e)\(\Lim_{x\to 1^-} \frac{(x-1)^2}{|x-1|}\)

\(\Lim_{x\to 1^-}\frac{(x-1)^2}{|x-1|}=\Lim_{x\to 1^-}\frac{(x-1)^2}{-(x-1)}=\Lim_{x\to 1^-}(-(x-1))=0\)

[eresh]

f)\(\Lim_{x\to + \infty } \frac{2x-3x^2}{2x^2+x-5}\)

\(\Lim_{x\to + \infty } \frac{2x-3x^2}{2x^2+x-5}=\Lim_{x\to +\infty}\frac{x^2(\frac{2}{x}-3)}{x^2(2+\frac{1}{x}-\frac{5}{x^2}}=\Lim_{x\to +\infty}\frac{\frac{2}{x}-3}{2+\frac{1}{x}-\frac{5}{x^2}}=\frac{-3}{2}=-1,5\)

[eresh]

g)\(\Lim_{x\to - \infty } (6x^3-4x^2)\)

\(\Lim_{x\to - \infty } (6x^3-4x^2)=\Lim_{x\to -\infty}x^3(6-\frac{4}{x})=-\infty\cdot 6=-\infty\)

[eresh]

h)\(\Lim_{x\to -4} \frac{-3}{(x+4)^2}\)

\(\Lim_{x\to -4}\frac{-3}{(x+4)^2}=[\frac{-3}{0^+}]=-\infty\)

[Mi82]

c)\(\Lim_{x\to -2} \frac{(x^2+x+2)}{(x^2-3x-10)}\)

\(\Lim_{x\to -2} \frac{(x^2+x+2)}{(x^2-3x-10)}=[\frac{5}{0}]\\
\Lim_{x\to -2^-} \frac{(x^2+x+2)}{(x^2-3x-10)}=[\frac{5}{0^+}]=+\infty\\
\Lim_{x\to -2^+} \frac{(x^2+x+2)}{(x^2-3x-10)}=[\frac{5}{0^-}]=-\infty\)

skąd w liczniku wyszło 5?

Pomyliłam się w przykładzie, przepraszam. Prawidłowo powinno być w liczniku \((x^2+x-2)\)

[eresh]

no to poprawiamy

\(\Lim_{x\to -2}\frac{x^2+x-2}{x^2-3x-10}=\Lim_{x\to -2}\frac{(x+2)(x-1)}{(x+2)(x-5)}=\Lim_{x\to -2}\frac{x-1}{x-5}=\frac{-3}{-7}=\frac{3}{7}\)

[Mi82]

P
d)\(\Lim_{x\to 0} \frac{ \sqrt{x+4}-2 }{5x}\)
.

\(\Lim_{x\to 0}\frac{ \sqrt{x+4}-2 }{5x}=[\frac{0}{0}]=\Lim_{x\to 0}\frac{x+4-4}{5x(\sqrt{x+4}+2)}=\Lim_{x\to 0}\frac{1}{5(\sqrt{x+4}+2)}=\frac{1}{5\cdot 4}=\frac{1}{20}\)

dlaczego w liczniku w obliczeniach wychodzi 1 ?

[eresh]

P
d)\(\Lim_{x\to 0} \frac{ \sqrt{x+4}-2 }{5x}\)
.

\(\Lim_{x\to 0}\frac{ \sqrt{x+4}-2 }{5x}=[\frac{0}{0}]=\Lim_{x\to 0}\frac{x+4-4}{5x(\sqrt{x+4}+2)}=\Lim_{x\to 0}\frac{1}{5(\sqrt{x+4}+2)}=\frac{1}{5\cdot 4}=\frac{1}{20}\)

\Lim_{x\to 0}\frac{x+4-4}{5x(\sqrt{x+4}+2)}

dlaczego w liczniku w obliczeniach wychodzi 1 ?

bo x się skrócił

\(\Lim_{x\to 0}\frac{x+4-4}{5x(\sqrt{x+4}+2)}=\Lim_{x\to 0}\frac{x}{5x(\sqrt{x+4}+2)}=\Lim_{x\to 0}\frac{1}{5(\sqrt{x+4}+2)}=\frac{1}{20}\)

[Mi82]

f)\(\Lim_{x\to + \infty } \frac{2x-3x^2}{2x^2+x-5}\)

\(\Lim_{x\to + \infty } \frac{2x-3x^2}{2x^2+x-5}=\Lim_{x\to +\infty}\frac{x^2(\frac{2}{x}-3)}{x^2(2+\frac{1}{x}-\frac{5}{x^2}}=\Lim_{x\to +\infty}\frac{\frac{2}{x}-3}{2+\frac{1}{x}-\frac{5}{x^2}}=\frac{-3}{2}=-1,5\)

dlaczego w obliczeniach granicy pomijamy ułamki które mają x w mianowniku i zostają nam tylko liczby -3 w liczniku i 2 w mianowniku ?

[Mi82]

g)\(\Lim_{x\to - \infty } (6x^3-4x^2)\)

\(\Lim_{x\to - \infty } (6x^3-4x^2)=\Lim_{x\to -\infty}x^3(6-\frac{4}{x})=-\infty\cdot 6=-\infty\)

Nie wiem po co wyłączamy w ogóle x z największą potęgą przed nawias, dlaczego tak się dzieje ?