Ekstrema funkcji

[Bilstik]

1.Wyznacz ekstrema funkcji f
a) \(f(x) = -x^3 +3x +2\)
b) \(f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x\)

2. Wyznacz przedziały monotoniczności oraz ekstrema funkcji \(f\)
a) \(f(x) =\frac{4}{x^2} - 2x\)

2. Uzasadnij ,że funkcja f nie ma ekstremum
a) \(f(x) = -x^3 - 3x +10\)

[denatlu]

a) \(f(x) = -x^3 +3x +2\)
\(F_f=R\)
\(f'(x)=-3x^2+3\)
\(f'(x)>0 \iff x \in (-1; 1)\) funkcja w tym przedziale rośnie.
\(f'(x)<0 \iff x \in (- \infty; -1) \cup (1; +\infty)\) funkcja w tych przedziałach maleje.

Ekstrema to miejsca w którym pochodna zmienia znak.
Pochodna zmienia znak z ujemnego na dodatni w punkcie \(x_1=-1\) i jest to minimum.
Pochodna zmienia znak z dodatniego na ujemny w punkcie \(x_2=1\) i jest to maksimum.

[denatlu]

b)\(f(x) = -2x^3-3x^2-12\)
\(F_f=R\)
\(f'(x)=-6x^2-6x\)
\(f'(x)>0 \iff x \in (-1; 0)\) funkcja w tym przedziale rośnie.
\(f'(x)<0 \iff x \in (- \infty; -1) \cup (0; +\infty)\) funkcja w tych przedziałach maleje.

Pochodna zmienia znak z ujemnego na dodatni w punkcie \(x_1=-1\) i jest to minimum.
Pochodna zmienia znak z dodatniego na ujemny w punkcie \(x_2=0\) i jest to maksimum.

[denatlu]

zad2
a) \(f(x)=\frac{4}{x^2}-2x\)
\(D_f=R \bez {0}\)

\(f'(x)=\frac{-8}{x^3}-2\)

\(f'(x)>0 \iff \frac{-8}{x^3}-2>0\)
\(\frac{4}{x^3}+1<0\)
\(4+x^3>0 \\
x^3>-4 \\
x>\sqrt[3]{-4} \wedge x<0\)
\(x\in (\sqrt[3]{-4}; 0)\) w tym przedziale funkcja \(f(x)\) rośnie.

\(f'(x)<0 \iff \iff \frac{-8}{x^3}-2<0\)
\(\frac{4}{x^3}+1>0 \So \sqrt[3]{-4} \wedge x>0\)
\(x\in (-\infty ;\sqrt[3]{-4}) \cup (0; +\infty)\) w tych przedziałach funkcja \(f(x)\) maleje.

Ekstremum minimum w punkcie \(x_1=\sqrt[3]{-4}\)
Ekstremum maksimum nie istnieje.

[denatlu]

zad3.
\(f(x)=-x^3-3x+10\)
\(D_f=R\)
\(f'(x)=-3x^2-3\)

Sprawdzamy teraz znak pochodnej i okazuje się, że jest on zawsze \(<0\). Oznacza to, że funkcja stale maleje to znaczy, że nie może mieć ekstremów. Można to zapisać wnioskiem

\(f'(x)<0\) dla każdego \(x \in D_f\) czyli ekstremów brak.