Wyznacz współczynniki a,b,c

[karolakkkk]

Liczba \(p= \sqrt[3]{2+ \sqrt{5}}+ \sqrt[3]{2- \sqrt{5}}\) jest pierwiastkiem podwójnym wielomianu \(W(x)=x^3+ax^2+bx+c\), a reszta z dzielenia tego wielomianu przez dwumian \(x-2p\) , równa jest \(3\). Wyznacz współczynniki \(a,b,c\) i rozłóż wielomian na czynniki liniowe.
WSKAZÓWKA. Oblicz \(p^3\)

[radagast]

No to skorzystajmy ze wskazówki:
\(p^3= \left( \sqrt[3]{2+ \sqrt{5}}+ \sqrt[3]{2- \sqrt{5}}\right) ^3= 2+ \sqrt{5}+3\sqrt[3]{2+ \sqrt{5}}^2\sqrt[3]{2- \sqrt{5}}+3\sqrt[3]{2+ \sqrt{5}}\sqrt[3]{2- \sqrt{5}}^2+2- \sqrt{5}=\\
4+3\sqrt[3]{2+ \sqrt{5}}\sqrt[3]{2- \sqrt{5}} \left( \sqrt[3]{2+ \sqrt{5}}+\sqrt[3]{2- \sqrt{5}}\right) =4-3 \left( \sqrt[3]{2+ \sqrt{5}}+\sqrt[3]{2- \sqrt{5}}\right)\)
Jak się temu przyjrzeć .... to można zauważyć, że
\(p^3=4-3p\), a stąd już tylko krok do zaskakującej konkluzji, że \(p=1\),( bo \(p^3+3p-4=(p-1)(p^2+p+4)=0\)).
Dalej już łatwo, chociaż nie bardzo .

[radagast]

Dokończę to:
Skoro \(p\) jest pierwiastkiem wielokrotnym , to jest wspólnym miejscem zerowym wielomianu i jego pochodnej.
Mamy więc następujący układ równań:

\(\begin{cases}W(1)=0\\W'(1)=0\\W(2)=3 \end{cases}\)

\(\begin{cases}1+a+b+c=0\\3+2a+b=0\\8+4a+2b+c=3 \end{cases}\)

\(\begin{cases}a=-1\\b=-1\\c=1 \end{cases}\)

zatem \(W(x)=x^3-x^2-x+1=x^2(x-1)-(x-1)=(x-1)(x^2-1)=(x-1)^2(x+1)\)