2 zadania funkcji trygonometrycznych

[pawel96]

1.Najmniejszą wartością funkcji \(f(x)= \frac{4}{9}\cos^2(2x+1)-\frac{1}{3}\), xeR jest liczba:
A. -7/9
B. -1
C. -4/9
D. -1/3

Prawidłowa odpowiedź to D.

2. Dana jest funkcja \(f(x)= \sin 5 x+\sin x\), \(x\in <0, \pi>\). Funkcja f:
A. ma tylko 5 miejsc zerowych, których suma jest równa 3pi
B. ma tylko 5 miejsc zerowych, których suma jest równa 2pi
C. ma tylko 6 miejsc zerowych, których suma jest równa 3pi
D. ma tylko 6 miejsc zerowych, których suma jest równa 2pi

Prawidłowa odpowiedź to C.

[Panko]

1. \(\forall\)\(x\)\(\in R\) \(\\)\(\\)\(\\) \(0 \le \cos ^2(2x+1) \le 1\)
\(0 \le \cos ^2(2x+1) \le 1\)\(\\) \(\\) \(\\)\(| \cdot\)\(\frac{4}{9}\)
\(0 \le \frac{4}{9}\cos ^2(2x+1) \le \frac{4}{9}\)
\(0 \le \frac{4}{9}\cos ^2(2x+1) \le \frac{4}{9}\) \(\\) \(\\) \(|\)\(\\)\(\\) \(-\frac{1}{3}\)
\(-\frac{1}{3} \le \frac{4}{9}\cos ^2(2x+1) -\frac{1}{3} \le \frac{4}{9} -\frac{1}{3}\)
\(-\frac{1}{3} \le \frac{4}{9}\cos ^2(2x+1) -\frac{1}{3} \le \frac{1}{9}\)

stąd Najmniejsza wartość funkcji \(f(x)= \frac{4}{9}\cos ^2(2x+1) -\frac{1}{3}\)\(\\)\(,x \in R\) \(\\) \(\\) to \(\\) \(y=-\frac{1}{3}\)

[eresh]

2. Dana jest funkcja f(x)= sin5x+sinx, x∈<0, pi>. Funkcja f:
A. ma tylko 5 miejsc zerowych, których suma jest równa 3pi
B. ma tylko 5 miejsc zerowych, których suma jest równa 2pi
C. ma tylko 6 miejsc zerowych, których suma jest równa 3pi
D. ma tylko 6 miejsc zerowych, których suma jest równa 2pi

Prawidłowa odpowiedź to C.

\(f(x)=\sin 5x+\sin x\\
f(x)=2\sin\frac{5x+x}{2}\cos\frac{5x-x}{2}\\
f(x)=2\sin 3x\cos 2x\\
f(x)=0 \So \sin 3x=0\;\;\; \vee \;\;\;\cos 2x=0\\
x_1=0\\
x_2=\frac{\pi}{3}\\
x_3=\frac{2\pi}{3}\\
x_4=\pi\\
x_5=\frac{\pi}{4}\\
x_6=\frac{3\pi}{4}\\
x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6=3\pi\)