forum.zadania.info

1) W równoległoboku \(ABCD\) bok \(AB\) jest o 2 cm dłuższy od boku \(BC\), a kąt zawarty między tymi bokami ma miarę \(120^ \circ\). Oblicz obwód tego równoległoboku, jeśli wiadomo, że dłuższa przekątna równoległoboku ma długość \(\sqrt{109}\)


2) W trójkącie rozwartokątnym \(ABC\) \((| \angle ACB| \in (90^ \circ , 180^ \circ ))\) długości boków spełniają warunki: \(|BC| = |AC| + 2\), \(|AB| = |AC| + 4\) oraz \(|AC| > 2\). Ustal, do jakiego przedziału liczbowego należy dlugość boku \(AC\).

1
\(109=x^2+(x+2)^2-2x(x+2)cos120\\
109=x^2+(x+2)^2-x(x+2)\\
109=x^2+x^2+4x+4-x^2-2x\\
109=x^2+2x+4=(x+2)^2\\
x+2= \sqrt{109} \\
x= \sqrt{109}-2\\
Obw=2(x+x+2)=2(2x+2)=4x+4=4(x+1)=4(\sqrt{109}-2+1)=4(\sqrt{109}-1)\)

Patrycja_59 pisze:

2) W trójkącie rozwartokątnym \(ABC\) \((| \angle ACB| \in (90^ \circ , 180^ \circ ))\) długości boków spełniają warunki: \(|BC| = |AC| + 2\), \(|AB| = |AC| + 4\) oraz \(|AC| > 2\). Ustal, do jakiego przedziału liczbowego należy dlugość boku \(AC\).

\(|AC|=b\\
|BC|=b+2\\
|AB|=b+4\\
|AB|^2=|BC|^2+|AC|^2-2|BC||AC|\cos \alpha\\
b^2+8b+16=b^2+4b+4+b^2-2b(b+2)\cos\alpha\\
2b(b+2)\cos\alpha=b^2-4b-12\\
\cos\alpha=\frac{(b-6)(b+2)}{2b(b+2)}\\
\cos\alpha=\frac{b-6}{2b}\)
\(\alpha\) jest rozwarty, więc \(\cos\alpha<0\),
\(\frac{b-6}{2b}<0\\
b-6<0\\
b<6\)

\(2<|AC|<6\)

Dziękuję za włożony trud, ale w wyniki różnią się od tych w podanych odpowiedziach, a mianowicie:

zad. 1: \(7 cm, 5 cm\), obwód \(24 cm\)

zad. 2: \(|AC| \in (2,6)\)

Moglibyście jeszcze raz zerknąć na te zadania? Z góry dziękuję

no tak, przecież w zadaniu jest, że \(|AC|>2\), czyli faktycznie
\(2<|AC|<6\)

Eresh, a miałabyś pomysł jak "naprawić" zad. 2? Będę wdzięczna.

miałabym

\(109=x^2+(x+2)^2-2x(x+2)cos120^{\circ}\\
109=x^2+(x+2)^2+x(x+2)\\
109=x^2+x^2+4x+4+x^2+2x\\
109=3x^2+6x+4\\
3x^2+6x-105=0\\
x=5\\
\mbox{Obw}=2(x+x+2)=\\
\mbox{Obw}=2(10+2)=24\)

Dziękuję Geniuszu

Najmocniej przepraszam, że odkopuję, ale przed chwilką robiłam zadanko nr.2 (trójkąt) i wyszedł mi błędny wynik, mam więc pytanko: dlaczego w założeniach nie przyjmujemy, że cos>-1 ? Przecież \cos180=-1? Po uwzglednieniu tego warunku wychodzi, że |AC|<2+ \sqrt{15}.
Byłabym wdzięczna gdyby ktoś mógł wytłumaczyć pominięcie tego warunku (w odpowiedziach wynik jest zgodny z wynikiem Pana @eresh)

\(cos180^o=-1\)
To prawda,ale cosinus jest funkcją okresową i co 360 stopni się powtarzają jego wartości.
\(cos0^o=1\\cos60^o= \frac{1}{2}\\cos90^o=0\\cos120^o=- \frac{1}{2}\\cos180^o=-1\\cos240^o=- \frac{1}{2}\\cos 270^o=0\\cos320^o= \frac{1}{2}\\cos360^o=1\)
i dalej wszystko się powtarza...
Jak widać zbiór wartości funkcji cos jest przedziałem <-1;1>
Jeśli mówimy o funkcji cosinus,to podajemy znak wartości,bo dla kątów od 90 stopni do 270 stopni są
one ujemne,a dla kątów ostrych i od 270 do 360 stopni są dodatnie.
Wartości się powtarzają.

Czyli dobrze rozumiem, że w zadaniach w których będziemy podstawiać jakieś wyrażenie za \cos sprawdzamy zawsze tylko znak? Tzn albo mniejsze albo wieksze od 0?

Zgadza się,wartości się powtarzają...
Zgodnie z wzorami:
\(cos(180^o-\alpha)=-cos\alpha\\cos(180^o+\alpha)=cos\alpha\)