funkcje trygonometryczne

[amberxx]

Oblicz promień koła wpisanego w ośmiokąt foremny o boku długości 1 cm.
Z góry dziękuję za pomoc, a najlepiej prosiłabym jeszcze o jakies wytlumaczenie

[Galen]

Narysuj koło i kąty środkowe po 45 stopni.
\(8\cdot 45^o=360^o\)
Skonstruuj dwusieczną jednego z takich kątów środkowych,nazywam ją SK,gdzie S jest środkiem okręgu
i punkt K należy do okręgu.
Narysuj styczną w punkcie K (prostopadle do promienia SK).
Punkty wspólne ramion kąta środkowego mającego 45 stopni z tą styczną nazywam A i B.
Masz dany bok ośmiokąta opisanego na okręgu i trzeba obliczyć promień r tego okręgu.
\(r=|SK|=?\)
Rozważ trójkąt ASB równoramienny o kącie ostrym 45 stopni i podstawie a-1
Tw.cosinusów w ASB (|AS|=|BS|=x):
\(1^2=x^2+x^2-2x^2\cdot cos 45^o\\
1=2x^2(1-cos 45^o)\\
1=2x^2(1-\frac{\sqrt{2}}{2})\\
2x^2=\frac{1}{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}\\
x^2=\frac{1}{2-\sqrt{2}}=\frac{2+\sqrt{2}}{2}\)
Pozostaje już policzyć r=|SK| z tw.Pitagorasa w trójkącie prostokątnym AKS
\(r^2+|AK|^2=x^2\\
r^2=x^2-|AK|^2\)
\(r^2=\frac{2+\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{4}=\frac{4+2\sqrt{2}-1}{4}=\frac{3+2\sqrt{2}}{4}\\
r= \sqrt{ \frac{3+2 \sqrt{2} }{4} }\)
\(r= \frac{ \sqrt{3+2 \sqrt{2} } }{2}\)

[amberxx]

Ogarniam wszystko do momentu ''Rozważ trójkąt ASB równoramienny o kącie ostrym 45 stopni i podstawie a-1''. Dlaczego |AS|=|BS|=x, i potem całe to liczenie z tym x - nie rozumiem nic . Jakby była możliwość jeszcze jakiegoś wytłumaczenia to byłoby super, sin, cos i inne oczywiście miałam, no ale się pogubiłam i nic z tego nie ogarniam. Zależy mi na zrozumieniu tego zadania, bo nie widzę sensu w przepisaniu tego po prostu do zeszytu, bo i tak nie wiem, co piszę

[irena]

Może trochę inaczej:

Narysuj trójkąt ABO, w którym |AB|=1cm to jeden z boków ośmiokąta foremnego, O to środek okręgu opisanego na ośmiokącie.
OA i OB to promienie okręgu opisanego na ośmiokącie.

|OA|=|OB|=R

\(|\angle AOB|=\frac{360^0}{8}=45^0\)

Poprowadź wysokość BP trójkąta ABO na ramię AO.
W trójkącie prostokątnym OPB
\(|\angle POB|=|\angle OBP|=45^0\\|PB|=|OP|=h\\|OB|=R=h\sqrt{2}\)

\(|AP|=R-h=h\sqrt{2}-h=h(\sqrt{2}-1)\)

Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta ABP:
\(h^2+h^2(\sqrt{2}-1)^2=1^2\\h^2+h^2(2-2\sqrt{2}+1)=1\\h^2(4-2\sqrt{2})=1\\h^2=\frac{1}{2(2-\sqrt{2})}=\frac{2+\sqrt{2}}{2(4-2}=\frac{2+\sqrt{2}}{4}\)

r- wysokość trójkąta ABO opuszczona na podstawę AB i jednocześnie promień okręgu wpisanego w ośmiokąt foremny

Z pola trójkąta ABO:
\(\frac{1}{2}R^2sin45^0=\frac{1}{2}\cdot1\cdot r\\R^2\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=r\\r=(h\sqrt{2})^2\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=2h^2\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}\\r=h^2\sqrt{2}=\frac{\sqrt{2}(2+\sqrt{2})}{4}=\frac{2\sqrt{2}+2}{4}\\r=\frac{\sqrt{2}+1}{2}cm\)

[Galen]

Przekształcę mój wynik na taki jaki podaje Irena,bo ładniej wygląda.
\((\sqrt{2}+1)^2=2+2\sqrt{2}+1=2\sqrt{2}+3\)
Podstawiam do mojego wzoru na r
\(r=\frac{\sqrt{3+2\sqrt{2}}}{2}=\frac{\sqrt{(\sqrt{2}+1)^2}}{2}=\frac{\sqrt{2}+1}{2}\)

Teraz wyjaśnienie do Twojego pytania:
Tam miał być znak = ,a wklepał się + (ten sam klawisz,stąd błąd w zapisie).
Już jest poprawione.
SORRY

[amberxx]

Nic się nie stało . Bardzo dziękuję Wam za wytłumaczenie, już wszystko zrozumiałam.