ciąg geom i trygonometria

[kojot]

Wydaje mi sie, ze zadanka są banalnie latwe, ale cos jestem zablokowany i nie umiem przebrnac, poza tym najlepszy tez nie jestem Jak by ktos mogl wytlumaczyc troche to bylbym wdzieczny

zad.1
Sinus pewnego kąta ostrego alfa, liczba 1/2 oraz cosinus tego samego kąta alfa tworzą w podanej kolejności ciąg geometryczny. Oblicz sumę sin alfa + cos alfa .

zad.2
Wyznacz zbiór wartości funkcji f(x) - sin^4 x + cos^4 x

[anka]

1.
\(sin\alpha, \frac{1}{2}, cos\alpha\)-ciąg geometryczny
\(\frac{ \frac{1}{2}}{sin\alpha}=\frac{cos\alpha}{ \frac{1}{2}}\\
sin\alpha cos\alpha=\frac{1}{4}\)

\(sin\alpha+cos\alpha=\sqrt{(sin\alpha+cos\alpha)^2}=\sqrt{sin^2\alpha+2sin\alpha cos\alpha+cos^2\alpha}=\sqrt{1+2sin\alpha cos\alpha}=\\
\sqrt{1+2\cdot \frac{1}{4}}=\sqrt{\frac{3}{2}}=\frac{\sqrt6}{2}\)

[Pol]

zadanie 2

\(f(x) = sin^4 x + cos^4 x=sin^4 x + (1-sin^2 x)^2 = 2sin^4 x - 2sin^2 x + 1\)

interesują nas minimum, maximum wyznaczonej funkcji, dlatego okroimy otrzymaną funkcję

\(g(x) = sin^4 x - sin^2 x\)

i policzymy jej pochodną

\(g'(x) = sin(2x) (2sin^2 x - 1)\)

po przyrównaniu jej do 0 otrzymamy punkty podejrzane o istnienie minimum bądź maksimum, będą to (pomijam okresowość):

\(x_1 = 0\\
x_2 = \frac {\pi} 2\\
x_3 = \frac {\pi} 6\\
x_4 = -\frac {\pi} 6\\\)

podstawiając otrzymane wartości do funkcji f(x) dowiemy się jakie minimalne i maksymalne wartości pojawią się w badanej funkcji

odp. \(Y: \ y \in <\frac 1 2 \ , \ 1>\)

[kojot]

dzieki wam bardzo za pomoc