twierdzenie sinusów i cosinusów.

[querty123]

1. W trójkącie ABC są dane:|<A|=80*, |<B|=55*, |AB|=10cm. Oblicz długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie.
2.Oblicz długość przekątnych d1 i d2 równoległoboku, którego boki mają długości 3 cm oraz 5cm zaś kąt ostry ma miare 30*.
3.W trójkącie długości boków wynoszą 2cm, 5cm, i 6cm. Oblicz cosinusy kątów tego trójkąta.

Z góry dzięki za pomoc

[domino21]

zad 1.

\(|\angle C|=180^{\circ}-80^{\circ}-55^{\circ}=45^{\circ}\)

\(\frac{|AB|}{\sin 45^{\circ}} =2R
\frac{10}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=2R
\frac{10}{\sqrt{2}}=R
R=5\sqrt{2}\)

[domino21]

zad 2.
krótsza przekątna d1

\(d_1^2=3^2+5^2-2\cdot 3\cdot 5 \cdot \cos 30^{\circ}
d_1^2=9+25-30\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}
d_1^2=36-15\sqrt{3}
d_1=\sqrt{36-15\sqrt{3}}\)

dłuższa przekątna d2

\(d_2^2=3^2+5^2-2\cdot 3\cdot 5 \cdot \cos150^{\circ}
d_2^2=9+25+30\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}
d_2^2=36+15\sqrt{3}
d_2=\sqrt{36+15\sqrt{3}}\)

[domino21]

alfa - naprzeciwko boku o długości 2cm
\(2^2=6^2+5^2-2\cdot 5\cdot 6 \cdot \cos\alpha
4=36+25-60\cos \alpha
60\cos\alpha=57
\cos \alpha=\frac{57}{60}\)

beta - naprzeciwko boku 5cm
\(5^2=2^2+6^2-24\cos \beta
24\cos\beta=4+36-25=15
\cos\beta=\frac{15}{24}\)

gamma
\(6^2=2^2+5^2-20\cos\gamma
20\cos\gamma=4+25-36=-7
\cos\gamma=-\frac{7}{20}\)

[Mi82]

czy mógłby mi ktoś wytłumaczyć, co to za wzory zostały tutaj poniżej użyte ??
widzę, że obliczenia niezbyt skomplikowane ale nie wiem skąd się to wszystko wzięło ...

zad 2.
krótsza przekątna d1

\(d_1^2=3^2+5^2-2\cdot 3\cdot 5 \cdot \cos 30^{\circ}
d_1^2=9+25-30\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}
d_1^2=36-15\sqrt{3}
d_1=\sqrt{36-15\sqrt{3}}\)

dłuższa przekątna d2

\(d_2^2=3^2+5^2-2\cdot 3\cdot 5 \cdot \cos150^{\circ}
d_2^2=9+25+30\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}
d_2^2=36+15\sqrt{3}
d_2=\sqrt{36+15\sqrt{3}}\)

[Mi82]

mi wyszły nieco inne wyniki:
d1=\(\sqrt{34+15 \sqrt3{} }\) -liczyłam to dwa razy i wychodzi mi taki wynik
d2= \(\frac{1}{2} \sqrt{217+120 \sqrt{3} }\)