Prawdopodobieństwo - 3 zadania - p. roz
: 18 lut 2010, 18:45
Z. 1
Wybieramy losowo trzy różne liczby naturalne ze zbioru \({1,2,3...,100}\). Czy bardziej prawdopodobne jest wybranie trzech liczb podzielnych przez \(4\), czy wybranie trzech liczb, z których można utworzyć ciąg arytmetyczny ?
Odpowiedź: Bardziej prawdopodobne jest wybranie trzech liczb podzielnych przez \(4\).
Komentarz: Policzyłem omegę, czyli \(\Omega = { 100\choose 3} =161700\) oraz zbiór A, czyli wylosowanie liczby podzielnej przez \(4\), czyli \(A= {25 \choose 3} =2300\). A więc prawdopodobieństwo wybrania trzech liczb podzielnych przez \(4\) wynosi \(P(A)= \frac{23}{1617}\). Niestety nie potrafię policzyć prawdopodobieństwa wylosowania trzech liczb tworzących ciąg arytmetyczny \(P(B)\).
Z.2
W urnie są trzy kule, w tym \(n\) białych. Wyjęto dwie kule i włożono do drugiej urny, początkowo pustej. Z drugiej urny wyjęto teraz jedną kulę. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania z drugiej urny kuli białej.
Odpowiedź: \(P(A)= \frac{n}{3}\)
Z.3
Oblicz prawdopodobieństwo tego, że przy czterokrotnym rzucie kostką trzy kolejne wyniki tworzą ciąg geometryczny.
Odpowiedź : \(P(A)= \frac{5}{72}\)
Komentarz: To zadanie w zasadzie zrobiłem, ale może ktoś potrafi je zrobić prościej i lepiej niż ja. Otóż policzyłem omegę \(\Omega =6^4\) a zbiór A zapisałem jako \(2 \cdot (6+6+6+6+6+6+6+6)-6=15 \cdot 6\).
Policzyłem to tak, że jest 6 możliwości dla (1,1,1,x) gdzie x jest liczbą z przedziału <1,6> i razy dwa ponieważ x może być na początku lub na końcu. Podobnie z (2,2,2,x) itp. Czyli to jest sześć szóstek, do tego dochodzi (1,2,4,x) i też razy dwa bo może być (x,1,2,4) oraz (4,2,1,x) i także razy 2, czyli jest \(2 \cdot 8 \cdot 6\) ale trzeba odjąć od tego 6 ponieważ, może być sytuacja (1,1,1,1) ; (2,2,2,2) itp, ogólnie 6 takich sytuacji, które przy mnożeniu przez 2 się podwaja. Koniec końców wyszło mi
\(P(A)= \frac{15 \cdot 6}{6^4} = \frac{15}{216} = \frac{5}{72}\)
Proszę o pomoc.
Wybieramy losowo trzy różne liczby naturalne ze zbioru \({1,2,3...,100}\). Czy bardziej prawdopodobne jest wybranie trzech liczb podzielnych przez \(4\), czy wybranie trzech liczb, z których można utworzyć ciąg arytmetyczny ?
Odpowiedź: Bardziej prawdopodobne jest wybranie trzech liczb podzielnych przez \(4\).
Komentarz: Policzyłem omegę, czyli \(\Omega = { 100\choose 3} =161700\) oraz zbiór A, czyli wylosowanie liczby podzielnej przez \(4\), czyli \(A= {25 \choose 3} =2300\). A więc prawdopodobieństwo wybrania trzech liczb podzielnych przez \(4\) wynosi \(P(A)= \frac{23}{1617}\). Niestety nie potrafię policzyć prawdopodobieństwa wylosowania trzech liczb tworzących ciąg arytmetyczny \(P(B)\).
Z.2
W urnie są trzy kule, w tym \(n\) białych. Wyjęto dwie kule i włożono do drugiej urny, początkowo pustej. Z drugiej urny wyjęto teraz jedną kulę. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania z drugiej urny kuli białej.
Odpowiedź: \(P(A)= \frac{n}{3}\)
Z.3
Oblicz prawdopodobieństwo tego, że przy czterokrotnym rzucie kostką trzy kolejne wyniki tworzą ciąg geometryczny.
Odpowiedź : \(P(A)= \frac{5}{72}\)
Komentarz: To zadanie w zasadzie zrobiłem, ale może ktoś potrafi je zrobić prościej i lepiej niż ja. Otóż policzyłem omegę \(\Omega =6^4\) a zbiór A zapisałem jako \(2 \cdot (6+6+6+6+6+6+6+6)-6=15 \cdot 6\).
Policzyłem to tak, że jest 6 możliwości dla (1,1,1,x) gdzie x jest liczbą z przedziału <1,6> i razy dwa ponieważ x może być na początku lub na końcu. Podobnie z (2,2,2,x) itp. Czyli to jest sześć szóstek, do tego dochodzi (1,2,4,x) i też razy dwa bo może być (x,1,2,4) oraz (4,2,1,x) i także razy 2, czyli jest \(2 \cdot 8 \cdot 6\) ale trzeba odjąć od tego 6 ponieważ, może być sytuacja (1,1,1,1) ; (2,2,2,2) itp, ogólnie 6 takich sytuacji, które przy mnożeniu przez 2 się podwaja. Koniec końców wyszło mi
\(P(A)= \frac{15 \cdot 6}{6^4} = \frac{15}{216} = \frac{5}{72}\)
Proszę o pomoc.