ostrosłup o podstawie trapezu równoramiennego
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
ostrosłup o podstawie trapezu równoramiennego
Podstawą ostrosłupa jest trapez równoramienny o podstawach dł. 3cm i 5cm oraz ramieniu dł. 7 cm. Spodek wysokości ostrosłupa jest punktem przecięcia przekątnych podstawy, a dłuższa krawędź boczna ma 10cm długości. Oblicz objętość ostrosłupa.
Zajmę się najpierw podstawą, czyli trapezem. Nazwałam go ABCD, gdzie AB to dłuższa, a CD to krótsza podstawa. E- punkt przecięcia przekątnych. do obliczenia pola podstawy, potrzebna będzie wysokość trapezu- h. Do obliczenia wysokości ostrosłupa potrzebna będzie długość odcinka EB- k.
Obliczam wysokość trapezu:
\(h^2+1^2=7^2\\h^2=48\\h=4\sqrt{3}\)
Trójkąty ABE i CDE są podobne. Skala tego podobieństwa wynosi 5:3. Narysuj wysokość trójkąta ABE, nazwij ją EF. Długość EF to \(\frac{5}{8}h\). (Wynika to ze skali podobieństwa trójkątów. suma wysokości tych trójkątów to h, a wysokości są w tym samym stosunku, co skala podobieństwa).
\(x=\frac{5}{8}\cdot4\sqrt{3}\\x=\frac{5\sqrt{3}}{2}\\|EF|^2+|BF|^2=|EB|^2\\x^2+(\frac{5}{2})^2=k^2\\k^2=(\frac{5\sqrt{3}}{2})^2+(\frac{5}{2})^2\\k^2=\frac{75}{4}+\frac{25}{4}\\k^2=\frac{100}{4}=25\\k=5\)
Teraz obliczę wysokość ostrosłupa- H. Jeżeli wierzchołek ostrosłupa nazwę S, to trójkąt SEB jest trójkątem prostokątnym, w którym |SE|=H, |EB|=k, |BS|=10
\(H^2+k^2=10^2\\H^2=100-25\\H^2=75\\H=5\sqrt{3}\)
Objętość ostrosłupa:
\(V=\frac{1}{3}P_p\cdot\ H\\V=\frac{1}{3}\cdot\frac{3+5}{2}\cdot4\sqrt{3}\cdot5\sqrt{3}\\V=80\)
Obliczam wysokość trapezu:
\(h^2+1^2=7^2\\h^2=48\\h=4\sqrt{3}\)
Trójkąty ABE i CDE są podobne. Skala tego podobieństwa wynosi 5:3. Narysuj wysokość trójkąta ABE, nazwij ją EF. Długość EF to \(\frac{5}{8}h\). (Wynika to ze skali podobieństwa trójkątów. suma wysokości tych trójkątów to h, a wysokości są w tym samym stosunku, co skala podobieństwa).
\(x=\frac{5}{8}\cdot4\sqrt{3}\\x=\frac{5\sqrt{3}}{2}\\|EF|^2+|BF|^2=|EB|^2\\x^2+(\frac{5}{2})^2=k^2\\k^2=(\frac{5\sqrt{3}}{2})^2+(\frac{5}{2})^2\\k^2=\frac{75}{4}+\frac{25}{4}\\k^2=\frac{100}{4}=25\\k=5\)
Teraz obliczę wysokość ostrosłupa- H. Jeżeli wierzchołek ostrosłupa nazwę S, to trójkąt SEB jest trójkątem prostokątnym, w którym |SE|=H, |EB|=k, |BS|=10
\(H^2+k^2=10^2\\H^2=100-25\\H^2=75\\H=5\sqrt{3}\)
Objętość ostrosłupa:
\(V=\frac{1}{3}P_p\cdot\ H\\V=\frac{1}{3}\cdot\frac{3+5}{2}\cdot4\sqrt{3}\cdot5\sqrt{3}\\V=80\)
