Przekrój Sześcianu

[messi1996]

Sześcian o krawędzi długości a przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy i nachyloną do płaszczyzny podstawy pod kątem miary .
a) Oblicz tangens największego z kątów , dla którego przekrój jest trójkątem. Zaznacz ten kąt wraz z odpowiednim przekrojem na rysunku.
b) Otrzymany przekrój sześcianu jest trójkątem. Oblicz pole tego trójkąta, wiedząc, że płaszczyzna, w której jest on zawarty podzieliła sześcian na dwie bryły, których stosunek objętości wynosi 1:11.

[sebnorth]

O środek podstawy dolnej sześcianu

a) jeśli oznaczymy wierzchołki sześcianu ABCDA'B'C'D'(A' jest nad A) to tangens będzie największy jeśli przekrojem będzie trójkąt BDC'

\(\tg \alpha = \frac{CC'}{CO} = \frac{a}{ \frac{a \sqrt{2} }{2} } = \sqrt{2}\)

[sebnorth]

b)

punkt \(X\) przemieszcza się po odcinku \(CC'\) tworząc różne przekroje trójkątne \(BDX, CX = x\)

dla pewnego ustalonego \(x\) będzie

\(\frac{ \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2}{2} \cdot x }{a^3 - \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2}{2} \cdot x} = \frac{1}{11}\)

z tego liczymy \(x = \frac{a}{2}\)

\(P_{BSX} = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot OX\)

\(BD = a \sqrt{2}, OX = \sqrt{x^2 + ( \frac{a \sqrt{2} }{2} )^2 } = \frac{a \sqrt{3} }{2}\)

\(P_{BSX} = \frac{a^2 \sqrt{6} }{4}\)