Ekstremalny ostrosłup na kuli
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
poetaopole
- Stały bywalec
- Posty: 365
- Rejestracja: 15 kwie 2009, 07:26
- Podziękowania: 199 razy
- Płeć:
Ekstremalny ostrosłup na kuli
Na kuli o promieniu R opisano ostrosłup prawidłowy czworokątny o najmniejszej objętości. Wyznacz długość jego wysokości.
Kula jest styczna do podstawy i wszystkich ścian bocznych ostrosłupa.
Narysuj trójkąt równoramienny KLS o podstawie KL.
Punkty K i L to środki przeciwległych (równoległych) krawędzi podstawy.
|KL|=a
a- długość krawędzi podstawy
|KS|=|LS|=b
b- wysokość ściany bocznej ostrosłupa
Punkt S to wierzchołek ostrosłupa.
Poprowadź wysokość SP trójkąta na podstawę KL.
|SP|=H
H- wysokość ostrosłupa
Na wysokości SP zaznacz punkt O- środek okręgu wpisanego w trójkąt KLS (środek kuli wpisanej w ostrosłup).
Poprowadź odcinek OT prostopadły do ramienia LS, T leży na LS.
|OP|=|OT|=R
W trójkącie prostokątnym PLS:
\(b^2=H^2+(\frac{a}{2})^2=H^2+\frac{a^2}{4}=\frac{4H^2+a^2}{4}\\b=\frac{\sqrt{4H^2+a^2}}{2}\)
Trójkąty PLS i OTS to podobne trójkąty prostokątne
\(\frac{|PL|}{|SL|}=\frac{|OT|}{|OS|}\\\frac{a}{2b}=\frac{R}{H-R}\\\frac{a}{\sqrt{4H^2+a^2}}=\frac{R}{H-R}\\\frac{a^2}{4H^2+a^2}=\frac{R^2}{(H-R)^2}\\a^2(H^2-2HR+R^2)=4R^2H^2+a^2R^2\\a^2(H^2-2HR)=4R^2H^2\\a^2=\frac{4R^2H}{H-2R}\)
V- objętość ostrosłupa
\(V=\frac{1}{3}a^2H\\V=\frac{1}{3}\cdot\frac{4R^2H}{H-2R}\cdot H=\frac{4R^2H^2}{3(H-2R)}\)
\(H\neq2R\)
\(V'(H)=\frac{4R^2}{3}\cdot\frac{2H(H-2R)-H^2}{(H-2R)^2}=\frac{4R^2}{3}\cdot\frac{H^2-4HR}{(H-2R)^2}\)
\(V'(H)=0\\H^2-4HR=0\\H(H-4R)=0\\H\neq0\\H=4R\)
Narysuj trójkąt równoramienny KLS o podstawie KL.
Punkty K i L to środki przeciwległych (równoległych) krawędzi podstawy.
|KL|=a
a- długość krawędzi podstawy
|KS|=|LS|=b
b- wysokość ściany bocznej ostrosłupa
Punkt S to wierzchołek ostrosłupa.
Poprowadź wysokość SP trójkąta na podstawę KL.
|SP|=H
H- wysokość ostrosłupa
Na wysokości SP zaznacz punkt O- środek okręgu wpisanego w trójkąt KLS (środek kuli wpisanej w ostrosłup).
Poprowadź odcinek OT prostopadły do ramienia LS, T leży na LS.
|OP|=|OT|=R
W trójkącie prostokątnym PLS:
\(b^2=H^2+(\frac{a}{2})^2=H^2+\frac{a^2}{4}=\frac{4H^2+a^2}{4}\\b=\frac{\sqrt{4H^2+a^2}}{2}\)
Trójkąty PLS i OTS to podobne trójkąty prostokątne
\(\frac{|PL|}{|SL|}=\frac{|OT|}{|OS|}\\\frac{a}{2b}=\frac{R}{H-R}\\\frac{a}{\sqrt{4H^2+a^2}}=\frac{R}{H-R}\\\frac{a^2}{4H^2+a^2}=\frac{R^2}{(H-R)^2}\\a^2(H^2-2HR+R^2)=4R^2H^2+a^2R^2\\a^2(H^2-2HR)=4R^2H^2\\a^2=\frac{4R^2H}{H-2R}\)
V- objętość ostrosłupa
\(V=\frac{1}{3}a^2H\\V=\frac{1}{3}\cdot\frac{4R^2H}{H-2R}\cdot H=\frac{4R^2H^2}{3(H-2R)}\)
\(H\neq2R\)
\(V'(H)=\frac{4R^2}{3}\cdot\frac{2H(H-2R)-H^2}{(H-2R)^2}=\frac{4R^2}{3}\cdot\frac{H^2-4HR}{(H-2R)^2}\)
\(V'(H)=0\\H^2-4HR=0\\H(H-4R)=0\\H\neq0\\H=4R\)