pole przekroju ostrosłupa

[sinistra]

Wszystkie krawędzie prawidłowego ostrosłupa czworokątnego mają długość a. Oblicz pole przekroju tego ostrosłupa płaszczyzną poprowadzoną przez środki dwóch sąsiednich krawędzi podstawy i środek wysokości ostrosłupa.

Wynik: \(P=\frac{5a^2 \sqrt{2}}{16}\)

Bardzo proszę o pomoc, bo nawet nie wiem, jak ten przekrój ma wyglądać.

[kacper218]

Rysunek
Przekrojem jest pięciokąt (trapez równoramienny + trójkąt równoramienny)

[Galen]

Kacper,ja tam widzę prostokąt i trójkąt.
Mylę się?
Wyprowadź mnie z błędu,proszę.

[sinistra]

tak, z obliczeń też mi wyszło, że to jest prostokąt, ale z tej perspektywy wygląda jak trapez zresztą jakby nie patrzeć to prostokąt jest trapezem równoramiennym

[kacper218]

Tak prostokąt to trapez, dlatego ogólnie to trapez, ale może być w tym przypadku prostokąt

[kajan]

Pokaże ktoś jak policzyć pole tego trójkącika,bo pole prostokąta to nie problem.
Bardzo jestem ciekaw jak dojść do wysokości tego trójkącika.

[Galen]

http://www.matematyka.pl/14326.htm
Masz tam pełne rozwiązanie zadania 3,ale doczytaj cierpliwie do końca.

[sinistra]

w trójkącie JKS' \(sin \alpha =\frac{a \sqrt{2} }{4} \cdot \frac{ \sqrt{2} }{2}
\alpha =45\)
w trójkącie ASC \(sin \angle SAC=\frac{a \sqrt{2} }{2} \cdot \frac{1}{a}=\frac{ \sqrt{2} }{2}=sin \alpha\)
trójkąty ACS i JCI są podobne, bo mają taki sam kąt \(\alpha\) i wspólny kąt \(\beta\)
z tego mamy proporcje
\(\frac{a \sqrt{2} }{a}=\frac{\frac{3a \sqrt{2} }{4}}{x}\) , gdzie x to długość IJ
z tego otrzymujemy \(x=\frac{3a}{4}\)
wysokość trójkąta \(HGI = \frac{3a}{4}-\frac{a}{2}=\frac{a}{4}\)
P trójkąta \(HGI = \frac{1}{2} \cdot \frac{a \sqrt{2} }{2} \cdot \frac{a}{4}=\frac{a^2 \sqrt{2} }{16}\)

[Galen]

Trójkąt IJC jest podobny do trójkąta SAC w skali 3:4
\(|IJ|=\frac{3a}{4}\;\;\;i\;\;|JK|=\frac{a}{2}\;\;\;\;\;to\;\;\;|KI|=\frac{a}{4}\)
Pole przekroju:
\(P_p=P_{FEGH}+P_{HGI}=\frac{a\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{a}{2}+\frac{1}{2}\cdot \frac{a\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{a}{4}=\frac{a^2\sqrt{2}}{4}+\frac{a^2\sqrt{2}}{16}=\)
\(= \frac{4a^2 \sqrt{2}+a^2 \sqrt{2} }{16}= \frac{5a^2 \sqrt{2} }{16}\)
Krócej nie umiem