objetosc ostroslupa

[foox]

zad. 4 Oblicz objetosc ostroslupa prawidlowego trojkatnego, ktorego wysokosc jest rowna 12 cm, a wysokosc sciany bocznej - 15cm.
zad. 5 Oblicz objetosc ostroslupa prawidlowego trojkatnego, ktorego wysokosc jest rowna 16cm i tworzy:
a) z krawedzia boczna kat \(\alpha\) taki, ze tg \(\alpha\) =0,5
b) z wysokoscia sciany bocznej kat \(\alpha\) taki, ze cos\(\alpha\) = 0,8
zad. 6 a) oblicz objetosc czworoscianu foremnego o krawedzi dlugosci 8cm
b) oblicz objetosc czworoscianu foremnego o wysokosci 6cm

z gory dziekuje za rozwiazania

[jola]

zad 4
A,B,C,S - wierzchołki ostrosłupa
O- spodek wysokości ostrosłupa
D - środek\(\ \overline{BC}\)
AB=BC=AC=a - długość krawędzi podstawy
SO=h=12
\(AD= \frac{a \sqrt{3} }{2}\)
\(OD= \frac{1}{3} \cdot AD= \frac{1}{3} \cdot \frac{a \sqrt{3} }{2} = \frac{a \sqrt{3} }{6}\)

\(w\ \Delta ODS\ tw. Pitagorasa:\ \begin{cases}SD^2=OD^2+SO^2\\ SD=15\\SO=12\\OD= \frac{a \sqrt{3} }{6} \end{cases}\ \ \ \Rightarrow \ \ a^2=972\)

\(\begin{cases} V= \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2 \sqrt{3} }{4} \cdot h\\ a^2=972\\ h=12 \end{cases}\ \ \Rightarrow \ \ V=972 \sqrt{3}\)

[jola]

zad 5a
A,B,C,D,S - wierrzchołki ostrosłupa
O - spodek wysokości ostrosłupa
SO=h=16
\(\alpha =| \angle OSC|\ \ \ \wedge \ \ tg \alpha = \frac{1}{2}\)
AB=BC=AC=a

\(w\ \Delta OCS\ :\ \ \begin{cases} \frac{OC}{SO}=tg \alpha\\OC= \frac{2}{3} \cdot \frac{a \sqrt{3} }{2}= \frac{a}{ \sqrt{3} } \\SO=16 \\ tg \alpha = \frac{1}{2} \end{cases}\ \ \ \Rightarrow \ \ a=8 \sqrt{3}\ \ \ \Rightarrow \ \ \ a^2=192\)

\(\begin{cases}V= \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2 \sqrt{3} }{4} \cdot h\\ a^2=192\\ h=16 \end{cases}\ \ \ \Rightarrow \ \ \ V=256 \sqrt{3}\)