Krawędź podstawy graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego ma długość a. Najdłuższa przekątna graniastosłupa jest cztery razy dłuższa od najkrótszej przekątnej podstawy.
a) oblicz objętość graniastosłupa
b) oblicz pole przekroju tego graniastosłupa płaszczyzną zawierającą dwie przeciwległe krawędzie obu podstaw.
graniastosłup prawidłowy sześciokątny
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Najkrótsza przekątna sześciokąta foremnego o boku a ma długość \(a\sqrt{3}\).
Najdłuższa przekątna graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego (p), wysokość graniastosłupa (H) oraz dłuższa przekątna sześciokąta podstawy (2a) tworzą trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej p.
\(p=4a\sqrt{3}\\H^2+(2a)^2=(4a\sqrt{3})^2\\H^2+4a^2=48a^2\\H^2=44a^2\\H=2a\sqrt{11}\)
a)
Pole podstawy:
\(P_p=6\cdot\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{3a^2\sqrt{3}}{2}\)
Objętość:
\(V=\frac{3a^2\sqrt{3}}{2}\cdot2a\sqrt{11}=3\sqrt{33}a^3\)
Najdłuższa przekątna graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego (p), wysokość graniastosłupa (H) oraz dłuższa przekątna sześciokąta podstawy (2a) tworzą trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej p.
\(p=4a\sqrt{3}\\H^2+(2a)^2=(4a\sqrt{3})^2\\H^2+4a^2=48a^2\\H^2=44a^2\\H=2a\sqrt{11}\)
a)
Pole podstawy:
\(P_p=6\cdot\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{3a^2\sqrt{3}}{2}\)
Objętość:
\(V=\frac{3a^2\sqrt{3}}{2}\cdot2a\sqrt{11}=3\sqrt{33}a^3\)
b)
Przekrojem jest sześciokąt ABCDEF, gdzie AB i DE to przeciwległe krawędzie podstaw, punkty C, F to środki przeciwległych krawędzi bocznych.
Sześciokąt ten to suma dwóch identycznych trapezów równoramiennych o podstawach a i 2a (krawędź podstawy i odcinek równy dłuższej przekątnej sześciokąta podstawy). Wysokość każdego z tych trapezów jest równa połowie krótszej przekątnej graniastosłupa.
k- krótsza przekątna graniastosłupa
\((a\sqrt{3})^2+H^2=k^2\\k^2=3a^2+44a^2=47a^2\\k=a\sqrt{47}\)
h- wysokość opisanego trapezu
\(h=\frac{a\sqrt{47}}{2}\)
Pole przekroju;
\(P=2\cdot\frac{a+2a}{2}\cdot\frac{a\sqrt{47}}{2}=\frac{3a^2\sqrt{47}}{2}\)
Przekrojem jest sześciokąt ABCDEF, gdzie AB i DE to przeciwległe krawędzie podstaw, punkty C, F to środki przeciwległych krawędzi bocznych.
Sześciokąt ten to suma dwóch identycznych trapezów równoramiennych o podstawach a i 2a (krawędź podstawy i odcinek równy dłuższej przekątnej sześciokąta podstawy). Wysokość każdego z tych trapezów jest równa połowie krótszej przekątnej graniastosłupa.
k- krótsza przekątna graniastosłupa
\((a\sqrt{3})^2+H^2=k^2\\k^2=3a^2+44a^2=47a^2\\k=a\sqrt{47}\)
h- wysokość opisanego trapezu
\(h=\frac{a\sqrt{47}}{2}\)
Pole przekroju;
\(P=2\cdot\frac{a+2a}{2}\cdot\frac{a\sqrt{47}}{2}=\frac{3a^2\sqrt{47}}{2}\)