Pola i objetość graniastosłupów

[Bohun]

Kilka zadan na jutro .

Zad. 1 Znajdź wymiary prawidłowego graniastosłupa sześciokątnego o objętości V=27\(\sqrt{3}\) oraz polu powierzchni bocznej Pb=36

Zad. 2 Krawędź podstawy graniastosłupa prawidłowego trójkątnego ma długość a. Pole powierzchni bocznej tego graniastosłupa jest równe sumie pól jego obu podstaw. Oblicz objętość tego graniastosłupa.

Zad. 3 Oblicz objętość i pole powierzchni graniastosłupa prostego trójkątnego, którego wszystkie krawędzie są równe a.

Zad. 4 Oblicz objętość i pole powierzchni graniastosłupa prostego, którego podstawą jest trójkąt prostokątny, a przekątne ścian bocznych są równe 4cm, 5cm, 6cm.

Zad. 5 Podstawą graniastosłupa prostego jest równoległobok o bokach równych a i b tworzących kąt ostry . Krótsza przekątna graniastosłupa tworzy z płaszczyzną podstawy kąt . Oblicz objętość i pole powierzchni tego graniastosłupa.

Zad. 6 Przekątna podstawy czworokątnego graniastosłupa prawidłowego ma długość 3\(\sqrt{2}\) i tworzy z przekątną ściany bocznej kąt o mierze 60(stopni). Oblicz objętość tego graniastosłupa.

[radagast]

Kilka zadan na jutro .

Zad. 1 Znajdź wymiary prawidłowego graniastosłupa sześciokątnego o objętości V=27\(\sqrt{3}\) oraz polu powierzchni bocznej Pb=36

\(V= \frac{6a^2 \sqrt{3} }{4} h=27 \sqrt{3}\)
stąd
\(a^2 h=18\)


\(P_b=6ah=36\)
stąd
\(ah=6\)


należy juz tylko rozwiązać układ równań:
\(\begin{cases} a^2 h=18\\ah=6\end{cases}\)
i wyjdzie (właściwie w pamięci)
\(\begin{cases} a=3\\h=2\end{cases}\)

[agulka]

Kilka zadan na jutro .

Zad. 2 Krawędź podstawy graniastosłupa prawidłowego trójkątnego ma długość a. Pole powierzchni bocznej tego graniastosłupa jest równe sumie pól jego obu podstaw. Oblicz objętość tego graniastosłupa.

\(P_{pb} = 2P_{p}\\
3aH = 2\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\\

H=\frac{a\sqrt{3}}{6}\)

\(V=P_{p} \cdot H = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{6} = \frac{a^3}{8}\)

[agulka]

Kilka zadan na jutro .

Zad. 3 Oblicz objętość i pole powierzchni graniastosłupa prostego trójkątnego, którego wszystkie krawędzie są równe a.

\(P_{pc} = 2P_{p} + 3P_{b} = 2 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} + 3a\cdot H= \frac{a^2\sqrt{3}}{2} + 3a^2 = \frac{a^2(\sqrt{3}+6)}{2}\)

\(V=P_{p} \cdot H = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \cdot a = \frac{a^3\sqrt{3}}{4}\)