Objetość ostrosłupa
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Objetość ostrosłupa
Podstawą ostrosłupa jest trójkąt równoramienny o ramieniu długości 6 cm i podstawie długości 8 cm. Krawędzie boczne są sobie równe i maja po 9 cm długości. Oblicz objętość ostrosłupa.
Jeżeli wszystkie krawędzie boczne są równe, to spodek wysokości ostrosłupa jest środkiem okręgu opisanego na podstawie ostrosłupa.
h- wysokość trójkąta podstawy opuszczona na podstawę
\(h^2+4^2=6^2\\h^2=36-16=20\\h=2\sqrt{5}\)
R- promień okręgu opisanego na podstawie
\(\alpha\)- kąt przy podstawie trójkąta
\(sin\alpha=\frac{2\sqrt{5}}{6}=\frac{\sqrt{5}}{3}\)
Z twierdzenia sinusów:
\(\frac{6}{sin\alpha}=2R\\R=\frac{3}{\frac{\sqrt{5}}{3}}=\frac{9}{\sqrt{5}}\)
H- wysokość ostrosłupa
\(H^2+R^2=9^2\\H^2+\frac{81}{5}=81\\H^2=\frac{4}{5}\cdot81\\H=\frac{2\cdot9}{\sqrt{5}}=\frac{18\sqrt{5}}{5}\)
Objętość ostrosłupa:
\(V=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}\cdot8\cdot2\sqrt{5}\cdot\frac{18\sqrt{5}}{5}=48\)
h- wysokość trójkąta podstawy opuszczona na podstawę
\(h^2+4^2=6^2\\h^2=36-16=20\\h=2\sqrt{5}\)
R- promień okręgu opisanego na podstawie
\(\alpha\)- kąt przy podstawie trójkąta
\(sin\alpha=\frac{2\sqrt{5}}{6}=\frac{\sqrt{5}}{3}\)
Z twierdzenia sinusów:
\(\frac{6}{sin\alpha}=2R\\R=\frac{3}{\frac{\sqrt{5}}{3}}=\frac{9}{\sqrt{5}}\)
H- wysokość ostrosłupa
\(H^2+R^2=9^2\\H^2+\frac{81}{5}=81\\H^2=\frac{4}{5}\cdot81\\H=\frac{2\cdot9}{\sqrt{5}}=\frac{18\sqrt{5}}{5}\)
Objętość ostrosłupa:
\(V=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}\cdot8\cdot2\sqrt{5}\cdot\frac{18\sqrt{5}}{5}=48\)
Mam pytanie. Czemu korzystamy z promienia okręgu opisanego? Skoro krawędzie boczne są sobie równe, to spodkiem wysokości nie jest środek okręgu wpisanego? Czy krawędzie boczne nie mają tu nic do gadania? I liczy się tylko to, czy w podstawie jest trójkąt równoboczny lub kąty nachylenia ścian bocznych do podstawy są takie same?
Bo już w kolejnym zadaniu, gdy każda ściana boczna jest nachylona pod takim samym kątem do płaszczyzny podstawy, to korzystamy z promienia okręgu wpisanego.
Znalazłam takie twierdzenie:
"Jeśli wszystkie krawędzie boczne ostrosłupa są równe lub jeśli wszystkie krawędzie boczne tworzą z płaszczyzną podstawy równe kąty, to na podstawie ostrosłupa można opisać okrąg, a środkiem tego okręgu jest spodek wysokości ostrosłupa."
No ale z tego by wyszło, że w drugim zadaniu powinnam też użyć promienia okręgu opisanego. A to nie zgadzało się z wynikiem...
Oświeci mnie ktoś? Pomocy
Wdzięczna będę bardzo, bo bez tego to trochę kiepsko z robieniem dalszych zadań. Skoro podstaw nie umiem 
Bo już w kolejnym zadaniu, gdy każda ściana boczna jest nachylona pod takim samym kątem do płaszczyzny podstawy, to korzystamy z promienia okręgu wpisanego.
Znalazłam takie twierdzenie:
"Jeśli wszystkie krawędzie boczne ostrosłupa są równe lub jeśli wszystkie krawędzie boczne tworzą z płaszczyzną podstawy równe kąty, to na podstawie ostrosłupa można opisać okrąg, a środkiem tego okręgu jest spodek wysokości ostrosłupa."
No ale z tego by wyszło, że w drugim zadaniu powinnam też użyć promienia okręgu opisanego. A to nie zgadzało się z wynikiem...
Oświeci mnie ktoś? Pomocy
Wdzięczna będę bardzo, bo bez tego to trochę kiepsko z robieniem dalszych zadań. Skoro podstaw nie umiem Jeśli wszystkie krawędzie boczne ostrosłupa są równe (lub jeśli tworzą taki sam kąt z płaszczyzną podstawy ostrosłupa), to spodek wysokości ostrosłupa jest środkiem okręgu opisanego na podstawie, czyli w tym wypadku korzysta się z faktu, że na podstawie można opisać okrąg i rozpatruje się trójkąt prostokątny o przyprostokątnych: wysokość ostrosłupa i promień okręgu opisanego na podstawie. Przeciwprostokątną jest krawędź boczna ostrosłupa.
Jeśli wszystkie ściany boczne nachylone są do podstawy ostrosłupa pod takim samym kątem, to spodek wysokości jest w środku okręgu wpisanego w podstawę ostrosłupa. Tutaj rozpatruje się trójkąt prostokątny, w którym przyprostokątnymi są: promień okręgu wpisanego w podstawę i wysokość ostrosłupa. Przeciwprostokątną jest wysokość ściany bocznej.
Jeśli wszystkie ściany boczne nachylone są do podstawy ostrosłupa pod takim samym kątem, to spodek wysokości jest w środku okręgu wpisanego w podstawę ostrosłupa. Tutaj rozpatruje się trójkąt prostokątny, w którym przyprostokątnymi są: promień okręgu wpisanego w podstawę i wysokość ostrosłupa. Przeciwprostokątną jest wysokość ściany bocznej.
Narysuj sobie ostrosłup i jego wysokość.
Poprowadź odcinki od spodka wysokości ostrosłupa do krawędzi podstawy.
Jeśli krawędzie boczne są równe, to masz trójkąty prostokątne o wspólnej przyprostokątnej - H- wysokość ostrosłupa i równych przeciwprostokątnych. Trójkąty te są więc przystające. Więc- odcinki łączące spodek wysokości z wierzchołkami podstawy są równe. Wynika stąd, że w wielokącie podstawy jest punkt równo odległy od wszystkich wierzchołków wielokąta. Czyli- na wielokącie można opisać okrąg, a te odcinki to promienie okręgu opisanego.
Poprowadź odcinki od spodka wysokości ostrosłupa do krawędzi podstawy.
Jeśli krawędzie boczne są równe, to masz trójkąty prostokątne o wspólnej przyprostokątnej - H- wysokość ostrosłupa i równych przeciwprostokątnych. Trójkąty te są więc przystające. Więc- odcinki łączące spodek wysokości z wierzchołkami podstawy są równe. Wynika stąd, że w wielokącie podstawy jest punkt równo odległy od wszystkich wierzchołków wielokąta. Czyli- na wielokącie można opisać okrąg, a te odcinki to promienie okręgu opisanego.
Narysuj teraz ostrosłup i jego wysokość.
Poprowadź wysokości ścian bocznych tego ostrosłupa. Spodki tych wysokości na krawędziach podstawy połącz ze spodkiem wysokości ostrosłupa. Kąty nachylenia ścian bocznych do płaszczyzny podstawy ostrosłupa to kąty pomiędzy wysokościami ścian bocznych a narysowanymi odcinkami.
Jeśli te kąty są równe. to masz trójkąty prostokątne o wspólnej przyprostokątnej - H- wysokość ostrosłupa i jednakowymi kątami ostrymi leżącymi naprzeciw tej przyprostokątnej. Trójkąty te są więc przystające. Odcinki łączące spodek wysokości ostrosłupa ze spodkami wysokości ścian bocznych muszą być więc równe. Wynika stąd, że dla takiego wielokąta istnieje punkt równo odległy od jego boków. Czyli- w wielokąt ten można wpisać okrąg, a narysowane odcinki są promieniami tego okręgu.
Poprowadź wysokości ścian bocznych tego ostrosłupa. Spodki tych wysokości na krawędziach podstawy połącz ze spodkiem wysokości ostrosłupa. Kąty nachylenia ścian bocznych do płaszczyzny podstawy ostrosłupa to kąty pomiędzy wysokościami ścian bocznych a narysowanymi odcinkami.
Jeśli te kąty są równe. to masz trójkąty prostokątne o wspólnej przyprostokątnej - H- wysokość ostrosłupa i jednakowymi kątami ostrymi leżącymi naprzeciw tej przyprostokątnej. Trójkąty te są więc przystające. Odcinki łączące spodek wysokości ostrosłupa ze spodkami wysokości ścian bocznych muszą być więc równe. Wynika stąd, że dla takiego wielokąta istnieje punkt równo odległy od jego boków. Czyli- w wielokąt ten można wpisać okrąg, a narysowane odcinki są promieniami tego okręgu.
