Podstawą graniastosłupa jest trójkąt prostokątny równoramienny wpisany w okrąg o promieniu r.Kąt między przekątnymi przystających ścian bocznych wychodzącymi z tego samego wierzchołka podstawy jest równy \alpha .Wyznacz objętość tego graniastosłupa.
Wynik:V=r^3 \sqrt{2cos \alpha /1-cos \alpha }.
Wyznacz objętośc graniastosłupa.
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Przyprostokątne podstawy: a.
Średnica okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym jest równa przeciwprostokątnej, czyli przeciwprostokątna ma długość 2r.
\(a^2+a^2=(2r)^2\\2a^2=4r^2\\a^2=2r^2\\a=r\sqrt{2}\)
p- przekątna ściany bocznej (zbudowanej na przyprostokątnej)
Przekątne ścian bocznych razem z przeciwprostokątną tworzą trójkąt równoramienny o podstawie równej 2r.
Poprowadź wysokość w tym trójkącie opuszczoną na podstawę
\(sin(\frac{\alpha}{2})=\frac{r}{p}\\p=\frac{r}{sin(\frac{\alpha}{2})}\)
\(H^2+a^2=p^2\\H^2+(r\sqrt{2})^2=\frac{r^2}{sin^2(\frac{\alpha}{2})}\\H^2=\frac{r^2}{sin^2(\frac{\alpha}{2})}-2r^2=\frac{cos\alpha}{sin^2(\frac{\alpha}{2})}r^2\\H=\frac{\sqrt{cos\alpha}}{sin(\frac{\alpha}{2})}r\)
\(V=\frac{1}{2}\cdot(r\sqrt{2})^2\cdot\frac{\sqrt{cos\alpha}}{sin(\frac{\alpha}{2})}\cdot\ r=r^3\cdot\frac{\sqrt{cos\alpha}}{sin(\frac{\alpha}{2})}\)
Średnica okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym jest równa przeciwprostokątnej, czyli przeciwprostokątna ma długość 2r.
\(a^2+a^2=(2r)^2\\2a^2=4r^2\\a^2=2r^2\\a=r\sqrt{2}\)
p- przekątna ściany bocznej (zbudowanej na przyprostokątnej)
Przekątne ścian bocznych razem z przeciwprostokątną tworzą trójkąt równoramienny o podstawie równej 2r.
Poprowadź wysokość w tym trójkącie opuszczoną na podstawę
\(sin(\frac{\alpha}{2})=\frac{r}{p}\\p=\frac{r}{sin(\frac{\alpha}{2})}\)
\(H^2+a^2=p^2\\H^2+(r\sqrt{2})^2=\frac{r^2}{sin^2(\frac{\alpha}{2})}\\H^2=\frac{r^2}{sin^2(\frac{\alpha}{2})}-2r^2=\frac{cos\alpha}{sin^2(\frac{\alpha}{2})}r^2\\H=\frac{\sqrt{cos\alpha}}{sin(\frac{\alpha}{2})}r\)
\(V=\frac{1}{2}\cdot(r\sqrt{2})^2\cdot\frac{\sqrt{cos\alpha}}{sin(\frac{\alpha}{2})}\cdot\ r=r^3\cdot\frac{\sqrt{cos\alpha}}{sin(\frac{\alpha}{2})}\)
Wynik jest dobry:
\(sin(\frac{\alpha}{2})=\sqrt{sin^2(\frac{\alpha}{2})}=\sqrt{1-cos^2(\frac{\alpha}{2})}\)
\(cos\alpha=2cos^2(\frac{\alpha}{2})-1\\cos^2(\frac{\alpha}{2})=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}cos\alpha\\1-cos^2(\frac{\alpha}{2})=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}cos\alpha=\frac{1}{2}(1-cos\alpha)\)
\(sin\alpha=\sqrt{\frac{1}{2}(1-cos\alpha)}\)
\(\frac{\sqrt{cos\alpha}}{sin(\frac{\alpha}{2})}=\sqrt{\frac{cos\alpha}{\frac{1}{2}(1-cos\alpha)}}=\sqrt{\frac{2cos\alpha}{1-cos\alpha}}\)
\(sin(\frac{\alpha}{2})=\sqrt{sin^2(\frac{\alpha}{2})}=\sqrt{1-cos^2(\frac{\alpha}{2})}\)
\(cos\alpha=2cos^2(\frac{\alpha}{2})-1\\cos^2(\frac{\alpha}{2})=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}cos\alpha\\1-cos^2(\frac{\alpha}{2})=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}cos\alpha=\frac{1}{2}(1-cos\alpha)\)
\(sin\alpha=\sqrt{\frac{1}{2}(1-cos\alpha)}\)
\(\frac{\sqrt{cos\alpha}}{sin(\frac{\alpha}{2})}=\sqrt{\frac{cos\alpha}{\frac{1}{2}(1-cos\alpha)}}=\sqrt{\frac{2cos\alpha}{1-cos\alpha}}\)