Trójkąt równoramienny i udowodnienie..

[kilkaminutzemna]

1. W trójkącie równoramiennym podstawa ma 4cm długości a ramiona po 8cm. Oblicz odległość punktu styczności do ramion okręgu wpisanego w ten trójkąt.

2. Udowodnij, że 3 środkowe rozcinają trójkąt na 6 części o równych polach.

Proszę o jak najszybszą odpowiedź, bardzo potrzebuję tych zadań na jutro, gdyż prawdopodobnie będę z nich pytana. Gdyby była możliwość wyjaśnienia dlaczego jest rozwiązane tak a nie inaczej, bardzo bym prosiła. Z góry dziękuję

[irena]

1.
Nazwałam trójkąt ABC, gdzie |AC|=|BC|=8cm, |AB|=4cm. Wysokość poprowadzona na podstawę \(|CD|=h_p\)

\(h_p^2+|BD|^2=|BC|^2\\h_p^2+2^2=8^2\\h_p^2=64-2\\h_p^2=60\\h_p=2\sqrt{15}cm\)

Dwa punkty styczności okręgu wpisanego w ten trójkąt leżą na ramionach, trzeci jest środkiem podstawy, czyli to punkt D. Odległość punktu D od ramion - |DF|=d.
Obliczam wysokość trójkąta opuszczoną na ramię - \(|AE|=h_r\):
\(P_{ABC}=\frac{1}{2}|AB|\cdot|CD|=\frac{1}{2}|BC|\cdot|AE|\\\frac{1}{2}\cdot4\cdot2\sqrt{15}=\frac{1}{2}\cdot8\cdot\ h_r\\h_r=\frac{8\sqrt{15}}{8}=\sqrt{15}cm\)

Trójkąty: AEB i DBF są podobne (prostokątne o wspólnym kącie ostrym przy wierzchołku B)>

\(\frac{|DF|}{|DB|}=\frac{|AE|}{|AB|}\\\frac{d}{2}=\frac{\sqrt{15}}{4}\\d=\frac{\sqrt{15}}{2}cm\)

[kilkaminutzemna]

Dziękuję za pierwsze zadanie Ale jeszcze potrzebuję drugiego ..

[irena]

2.
Nazwałam trójkąt ABC. Jego środkowe odpowiednio: AD, BE, CF. Punkt przecięcia się środkowych - P.

Pole trójkąta AFC jest równe polu trójkąta CFB (maja jednakowe podstawy i wspólną wysokość.)
Czyli \(P_{AFC}=P_{CFB}=\frac{1}{2}P_{ABC}\).

Analogicznie \(P_{ABD}=P_{ADC}=\frac{1}{2}P_{ABC}\) oraz \(P_{ABE}=P_{ADC}=\frac{1}{2}P_{ABC}\).

W trójkącie ABP odcinek PF jest środkową, więc \(P_{AFP}=P_{FBP}=a\)

W trójkącie BCP odcinek PD jest środkową, więc \(P_{BPD}=P_{DPC}=b\)

W trójkącie APC odcinek PE jest środkową, więc \(P_{APE}=P_{PCE}=c\)

Z równości pół trójkątów AFC i BCF oraz z równości pól trójkątów ABD i ADC mamy:

\(\begin{cases}a+2c=a+2b \Rightarrow b=c\\2a+b=2c+b \Rightarrow a=c \end{cases} \\ \begin{cases}b=c\\a=c \end{cases} \Rightarrow a=b=c\)

\(2a+2b+2c=P_{ABC} \Rightarrow 6a=6b=6c=P_{ABC} \Rightarrow a=b=c=\frac{1}{6}P_{ABC}\)

Czyli każdy z trójkątów ma pole równe szóstej części pola trójkąta ABC. Stąd- środkowe dzielą trójkąt na 6 trójkątów o równych polach.

[kilkaminutzemna]

Bardzo, bardzo dziękuję.

[kilkaminutzemna]

A mogłabym mieć prośbę o rysunek do zadania pierwszego?

[irena]

Spróbuj sama: Trójkąt ABC, w którym AB to podstawa, D to środek podstawy. Odcinek AE to wysokość poprowadzona na ramię BC. Odcinek DF jest prostopadły do ramienia (równoległy do wysokości AE).