Prosta i odcinek

[zaq12wsx0]

1.Dany jest odcinek \(AB\), prowadzimy prostą \(k\) prostopadłą do odcinka AB i przecinającą ten odcinek w punkcie \(P_1\). Wykaż, że dla dowolnego punktu \(P\) należącego do prostej k wartość wyrażenia
\(|PA|^2-|PB|^2\) jest stała tzn. nie należy od wyboru punktu \(P\)

[irena]

Wydaje mi się, że chodzi o to, że dla konkretnej prostej k, czyli ustalonych wielkości \(|AP_1|\) i \(|P_1B|\) ta różnica nie zależy od wyboru punktu P na tej prostej. I to jest proste zastosowanie twierdzenia Pitagorasa:
\(|PA|^2=|PP_1|^2+|AP_1|^2\\|PB|^2=|PP_1|^2+|P_1B|^2\)
Po odjęciu stronami otrzymujemy:
\(|PA|^2-|PB|^2=|AP_1|^2-|P_1B|^2\)

Czyli- dla ustalonej prostej prostopadłej k, ta różnica nie zależy od wyboru punktu P.

[trzewior]

Sory że odświeżam ale zakładamy że w tym zadaniu mamy dany punkt \(P_1\) ?

[anka]

Tak

[trzewior]

A nie musimy sprawdzić jeszcze że punkt \(P_1\) pokrywa się z punktem \(P\)?

[anka]

Czyli- dla ustalonej prostej prostopadłej k, ta różnica nie zależy od wyboru punktu P.

więc w szczególności punkt\(P\) moze się pokrywać z punktem \(P_1\)

Przynajmniej tak mi się wydaje

[irena]

Jeśli \(P\) pokrywa się z punktem \(P_1\), to ta równość jest oczywista. W zadaniu chodzi (według mnie) o pokazanie, że dla jakiegokolwiek punktu P prostej k różnica jest stała (i zależy tylko od położenia prostej k, czyli od wyboru punktu \(P_1\))