Zadanie z trójkątami
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
- Dopiero zaczynam
- Posty: 11
- Rejestracja: 11 gru 2014, 10:52
- Podziękowania: 9 razy
- Płeć:
Zadanie z trójkątami
Punkty M i L leżą odpowoednio na bokach AB i AC trójkąta ABC, prz czym zachodzą równości |MB|=2|AM| oraz |LC|=3|AL|. Punkt S jest punktem przecięcia odcinków BL i CM. Punkt K jest punktem przecięcia prostej AS z odcinkiem BC. Pole trójkąta ABC jest równe 660. Oblicz pola trójkątów:AMS,ALS,BMS i CLS.
Narysuj tę cała opisaną sytuację.
Oznacz:
|AM|=x
|BM|=2x
|AL|=y
|CL|=3y
Trójkąty AMS i BMS mają wspólną wysokość opuszczoną na prostą AB, a podstawa trójkąta BMS jest 2 razy dłuższa, więc pole BMS jest 2 razy większe od pola AMS.
Oznacz:
\(P_{AMS}=p\\P_{BMS}=2p\)
Podobnie: trójkąty ALS i CLS mają wspólną wysokość poprowadzoną z punktu S ma prostą AC, czyli pole CLS jest 3 razy większe od pola ALS.
Oznacz:
\(P_{ALS}=t\\P_{CLS}=3t\)
Trójkąty ACM i BCM mają wspólną wysokość poprowadzoną z punktu C na prostą AB, więc pole ACM to \(\frac{1}{3}\) pola ABC.
Podobnie: trójkąty ABL i BCL maja wspólną wysokość poprowadzoną na AC, więc trójkąt BCL ma 3 razy większe pole niż ABL, czyli
\(P_{ABL}=\frac{1}{4}P_{ABC}\)
\(P_{ACM}=p+t+3t=p+4t=\frac{1}{3}\cdot660=220\)
\(P_{ABL}=t+p+2p=3p+t=\frac{1}{4}\cdot660=165\)
\(\begin{cases}3p+t=165\\p+4t=220\end{cases}\\\begin{cases}p+4t=220\\-12p-4t=-660\end{cases}\\-11p=-440\\p=40\\40+4t=220\\4t=180\\t=45\)
\(P_{AMS}=40\\P_{BMS}=2\cdot40=80\\P_{ALS}=45\\P_{CLS}=3\cdot45=135\)
Oznacz:
|AM|=x
|BM|=2x
|AL|=y
|CL|=3y
Trójkąty AMS i BMS mają wspólną wysokość opuszczoną na prostą AB, a podstawa trójkąta BMS jest 2 razy dłuższa, więc pole BMS jest 2 razy większe od pola AMS.
Oznacz:
\(P_{AMS}=p\\P_{BMS}=2p\)
Podobnie: trójkąty ALS i CLS mają wspólną wysokość poprowadzoną z punktu S ma prostą AC, czyli pole CLS jest 3 razy większe od pola ALS.
Oznacz:
\(P_{ALS}=t\\P_{CLS}=3t\)
Trójkąty ACM i BCM mają wspólną wysokość poprowadzoną z punktu C na prostą AB, więc pole ACM to \(\frac{1}{3}\) pola ABC.
Podobnie: trójkąty ABL i BCL maja wspólną wysokość poprowadzoną na AC, więc trójkąt BCL ma 3 razy większe pole niż ABL, czyli
\(P_{ABL}=\frac{1}{4}P_{ABC}\)
\(P_{ACM}=p+t+3t=p+4t=\frac{1}{3}\cdot660=220\)
\(P_{ABL}=t+p+2p=3p+t=\frac{1}{4}\cdot660=165\)
\(\begin{cases}3p+t=165\\p+4t=220\end{cases}\\\begin{cases}p+4t=220\\-12p-4t=-660\end{cases}\\-11p=-440\\p=40\\40+4t=220\\4t=180\\t=45\)
\(P_{AMS}=40\\P_{BMS}=2\cdot40=80\\P_{ALS}=45\\P_{CLS}=3\cdot45=135\)