Kilka zadanek ze zbioru MATeMAtyka

[myszkamyszka]

1. W okrąg o promieniu r wpisano prostokąt. Wyznacz długości jego boków, wiedząc, że pole prostokąta jest największe z możliwych.

2. Rozważmy wszystkie trapezy wpisane w okrąg o promieniu r, których dłuższa podstawa jest równa średnicy tego okręgu. Wykaż, że istnieje wśród nich trapez o polu większym niż \(1,25 r^{2}\).

3. Dany jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych a i b. Wykaż, że długość odcinka zawartego w dwusiecznej kąta prostego o końcu leżącym na przeciwprostokątnej wynosi \(d= \frac{ab \sqrt{2} }{a+b}\).

[denatlu]

1. Pole prostokąta wynosi \(P=\frac{1}{2}d^2 \sin \alpha=2r^2 \sin \alpha\).
\(\alpha\) jest to mniejszy z kątów między przekątnymi. Oszacuj zatem sinusa, dla jakiego kąta będzie największy?

[irena]

3.
x, y- długości odcinków, na które dwusieczna kąta prostego dzieli przeciwprostokątną.

Masz 2 trójkąty:
- o bokach a, d, x
- o bokach b, d, y
Z twierdzenia o dwusiecznej:
\(\frac{x}{y}=\frac{a}{b}\)

Z twierdzenia cosinusów:
\(\begin{cases}x^2=a^2+d^2-2ad cos45^0\\y^2=b^2+d^2-2bd cos45^0\end{cases}\\\begin{cases}x^2=a^2+d^2-ad\sqrt{2}\\y^2=b^2+d^2-bd\sqrt{2}\end{cases}\\\frac{x^2}{y^2}=\frac{a^2+d^2-ad\sqrt{2}}{b^2+d^2-bd\sqrt{2}}\\\frac{a^2}{b^2}=\frac{a^2+d^2-ad\sqrt{2}}{b^2+d^2-bd\sqrt{2}}\\a^2b^2+b^2d^2-ab^2d\sqrt{2}=a^2b^2+a^2d^2-a^2bd\sqrt{2}\\a^2bd\sqrt{2}-ab^2d\sqrt{2}=a^2d^2-b^2d^2\\abd\sqrt{2}(a-b)=d^2(a^2-b^2)\ \ /:d\\ab\sqrt{2}(a-b)=d(a-b)(a+b)\\(a-b)(d(a+b)-ab\sqrt{2})=0\\a=b\ \vee\ d=\frac{ab\sqrt{2}}{a+b}\)

Jeśli a=b, to:
\(d=\frac{a^2\sqrt{2}}{2a}=\frac{a\sqrt{2}}{2}\)
Zgadza się

[irena]

2.
Jeśli kąt ostry trapezu, o którym mowa w zadaniu, ma miarę \(60^0\). to trapez taki jest sumą trzech trójkątów równobocznych o boku r.
Pole takiego trapezu:
\(P=3\cdot\frac{r^2\sqrt{3}}{4}=\frac{3\sqrt{3}}{4}r^2>1,25r^2\)