Równoległobok, udowodnić że..

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
milewski2048
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 23
Rejestracja: 20 paź 2014, 19:33
Podziękowania: 24 razy
Płeć:

Równoległobok, udowodnić że..

Post autor: milewski2048 »

Wykaż że proste przechodzące przez wierzchołek i środki boków, do których on nie należy dzielą przekątną równoległoboku na trzy równe części.

rysunek sporządzić do tej sytuacji umiem, ale nie mam pojęcia jak to udowodnić.
Panko
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 2946
Rejestracja: 20 gru 2013, 21:41
Lokalizacja: Radom
Otrzymane podziękowania: 1556 razy
Płeć:

Post autor: Panko »

Np tak :
Trzeba znać ( lepiej umieć pokazać ) fakcik : W \(\Delta\) środkowe przecinają się w jednym punkcie i dzielą się w stosunku \(2:1\) licząc od wierzchołka .

Wtedy Niech \(ABCD\) będzie tym równoległobokiem i biorę parę prostych z wierzchołka \(D\) , jak w zadaniu i należy pokazać ,że dzielą przekątną \(AC\) na trzy równe odcinki.

Weźmy więc \(\Delta DBC\) . Niech \(S\) środek symetrii równoległoboku ( czyli punkt przecięcia jego przekątnych) , oraz \(D_1\) środek boku \(BC\) , oraz \(D_2\) punkt przecięcia odcinka \(DD_1\) z odcinkiem \(CS\)
Wtedy odcinki \(CS\) , \(DD_1\) to środkowe w \(\Delta DBC\) .
Stąd z fakciku jest , że \(CD_2=2 \cdot D_2S\) . Stąd \(CD_2=\frac{2}{3}(\frac{1}{2}AC)=\frac{1}{3}AC\)
Stąd \(D_2S= \frac{1}{3}(\frac{1}{2}AC)= \frac{1}{6}AC\)
Analogicznie pokazujemy dla \(\Delta DBA\) .
I stąd Twoja teza .
ODPOWIEDZ