Uzasadnij, że przeciwprostokątna!!!
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
- Często tu bywam
- Posty: 249
- Rejestracja: 22 lis 2011, 11:08
- Podziękowania: 177 razy
- Płeć:
Uzasadnij, że przeciwprostokątna!!!
Uzasadnij, że przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego jest średnicą okręgu na nim opisanego.
-
- Fachowiec
- Posty: 2946
- Rejestracja: 20 gru 2013, 21:41
- Lokalizacja: Radom
- Otrzymane podziękowania: 1556 razy
- Płeć:
Re: Uzasadnij, że przeciwprostokątna!!!
Niech \(\Delta ABC\) będzie prostokątny tak,że \(\angle BCA=90^ \circ\)
czyli \(BC=a,CA=b,BA=c\)
Niech \(S\) środek przeciwprostokątnej , oznaczmy \(r=BS=SA\)
stąd \(r=BS=SA=\frac{ \sqrt{a^2+b^2} }{2}\)
Należy pokazać, że \(\\) \(SC=r\)
Wykonajmy rzut prostokątny punktu \(S\) na przyprostokątne
\(S_B\) punkt na przyprostokątnej \(CA\) , czyli rzut \(S\) na bok \(CA\)
\(S_A\) punkt na przyprostokątnej \(BC\) , czyli rzut \(S\) na bok \(BC\)
Z \(tw Talesa\) jest : \(\frac{BC}{SS_B} =\frac{BA}{SA}\)\(\So SS_B=\frac{BC}{2}\)
Z \(tw Talesa\) jest : \(\frac{AC}{SS_A} =\frac{AB}{SB}\)\(\So SS_A=\frac{AC}{2}\)
Zauważamy,że \(( SS_B)^2+(SS_A)^2=(SC)^2\)
\((\frac{BC}{2} )^2 + ( \frac{AC}{2} )^2 =(SC)^2\)
\(SC=\frac{ \sqrt{a^2+b^2} }{2}\)
stąd \(SC=BS=SA\)
Czyli \(S\) to środek okręgu opisanego na \(\Delta ABC\)
czyli \(BC=a,CA=b,BA=c\)
Niech \(S\) środek przeciwprostokątnej , oznaczmy \(r=BS=SA\)
stąd \(r=BS=SA=\frac{ \sqrt{a^2+b^2} }{2}\)
Należy pokazać, że \(\\) \(SC=r\)
Wykonajmy rzut prostokątny punktu \(S\) na przyprostokątne
\(S_B\) punkt na przyprostokątnej \(CA\) , czyli rzut \(S\) na bok \(CA\)
\(S_A\) punkt na przyprostokątnej \(BC\) , czyli rzut \(S\) na bok \(BC\)
Z \(tw Talesa\) jest : \(\frac{BC}{SS_B} =\frac{BA}{SA}\)\(\So SS_B=\frac{BC}{2}\)
Z \(tw Talesa\) jest : \(\frac{AC}{SS_A} =\frac{AB}{SB}\)\(\So SS_A=\frac{AC}{2}\)
Zauważamy,że \(( SS_B)^2+(SS_A)^2=(SC)^2\)
\((\frac{BC}{2} )^2 + ( \frac{AC}{2} )^2 =(SC)^2\)
\(SC=\frac{ \sqrt{a^2+b^2} }{2}\)
stąd \(SC=BS=SA\)
Czyli \(S\) to środek okręgu opisanego na \(\Delta ABC\)
-
- Expert
- Posty: 6762
- Rejestracja: 19 mar 2011, 00:22
- Otrzymane podziękowania: 3034 razy
- Płeć: