Układy równań drugiego stopnia

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Radek_wyszyn
Czasem tu bywam
Czasem tu bywam
Posty: 83
Rejestracja: 16 sty 2012, 18:26
Podziękowania: 78 razy

Układy równań drugiego stopnia

Post autor: Radek_wyszyn »

Zad. 1
Trójkąt równoramienny ABC jest wpisany w okrąg \((x+2)^2 + (y-2)^2 = 20\). Wyznacz współrzędne wierzchołka C tego trójkat, jeśli jego podstawa AB jest zawarta w prostej \(y=\frac{1}{2}x +3\)

Zad. 2
Oblicz długość wspólnej cięciwy okręgów O1 i O2.
O1: \(x^2 + y^2 = 10\) 02: \(x^2 - 6x + y^2 - 6y +14 = 0\)
irena
Guru
Guru
Posty: 22300
Rejestracja: 10 paź 2009, 19:08
Otrzymane podziękowania: 9858 razy
Płeć:

Post autor: irena »

1.

Punkty A i B leżą na okręgu i danej prostej:
\(\{(x+2)^2+(y-2)^2=20\\y=\frac{1}{2}x+3\)

\((x+2)^2+(\frac{1}{2}x+3-2)^2=20\\x^2+4x+4+\frac{1}{4}x+x+1=20\\\frac{5}{4}x^2+5x-15=0/\cdot4\\5x^2+20x-60=0\ /:5\\x^2+4x-12=0\\x_1=-6\ \vee\ x_2=2\\y_1=0\ \vee\ y_2=4\\A=(-6;\ 0),\ \ B=(2;\ 4)\)

Wierzchołek C leży na okręgu i prostej prostopadłej do prostej AB przechodzącej przez środek odcinka AB.
\(S=(\frac{-6+2}{2};\ \frac{0+4}{2})=(-2;\ 2)\)

\(y=-2x+k\\2=-2\cdot(-2)+k\\k=-2\\y=-2x-2\)

\(\{(x+2)^2+(y-2)^2=20\\y=-2x-2\)

\((x+2)^2+(-2x-2-2)^2=20\\(x+2)^2+(-2x-4)^2=20\\(x+2)^2+[-2(x+2)]^2=20\\(x+2)^2+4(x+2)^2=20\\5(x+2)^2=20\\(x+2)^2=4\\x+2=2\ \vee\ x+2=-2\\x_1=0\ \vee\ x_2=-4\\y_1=-2\ \vee\ y_2=2\)

Są 2 takie punkty:
\(C_1=(0;\ -2)\ \ \vee\ \ C_2=(-4;\ 6)\)


P. S.
Tak naprawdę widzę, że niepotrzebnie wyznaczałam punkty A i B.
Wystarczyło przeprowadzić prostą prostopadłą do prostej AB przez środek okręgu.
irena
Guru
Guru
Posty: 22300
Rejestracja: 10 paź 2009, 19:08
Otrzymane podziękowania: 9858 razy
Płeć:

Post autor: irena »

2.
\(\{x^2+y^2=10\\x^2-6x+y^2-6y+14=0\)

\(-6x-6y+10+14=0\\6x+6y=24\\x+y=4\\y=-x+4\\x^2+(-x+4)^2=20\\2x^2-8x+16-10=0\\x^2-4x+3=0\\x_1=1\ \vee\ x_2=3\\y_1=3\ \vee\ y_2=1\\A=(1;\ 3),\ \ B=(3,\ 1)\\|AB|=\sqrt{(1-3)^2+(3-1)^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\)
Awatar użytkownika
Matematyk_64
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 549
Rejestracja: 09 lut 2012, 14:18
Lokalizacja: Legnica
Otrzymane podziękowania: 161 razy
Płeć:
Kontakt:

Re: Układy równań drugiego stopnia

Post autor: Matematyk_64 »

1)
Po wyznaczeniu S. Można szybciutko wektorem prostopadłym
\(\vec {AB} = [a,b]\)
\(\vec {SC} = [b,-a] \cdot \frac{ \sqrt{3} }{2}\)
lub
\(\vec {SC} = - 1 \cdot [b,-a] \cdot \frac{ \sqrt{3} }{2}\)
Potem sprawdzamy który z tych C leży na okręgu.

Żle :) to tylko zadziała dla trójkąta równobocznego, a tu chodzi o równoramienny!
Wrzutnia matematyczna: http://www.centrum-matematyki.pl/edukac ... tematyczna
gg: 85584
skype: pi_caria
irena
Guru
Guru
Posty: 22300
Rejestracja: 10 paź 2009, 19:08
Otrzymane podziękowania: 9858 razy
Płeć:

Re: Układy równań drugiego stopnia

Post autor: irena »

Matematyk_64 pisze:1)
Po wyznaczeniu S. Można szybciutko wektorem prostopadłym
\(\vec {AB} = [a,b]\)
\(\vec {SC} = [b,-a] \cdot \frac{ \sqrt{3} }{2}\)
lub
\(\vec {SC} = - 1 \cdot [b,-a] \cdot \frac{ \sqrt{3} }{2}\)
Potem sprawdzamy który z tych C leży na okręgu.

Żle :) to tylko zadziała dla trójkąta równobocznego, a tu chodzi o równoramienny!
Można wektorem prostopadłym, ale- tutaj środek okręgu to środek boku AB (AB jest średnicą), czyli
\(\vec{SC}=\frac{1}{2}\cdot[-b,\ a]\ \ \vee\ \ \vec{SC}=-\frac{1}{2}\cdot[-b;\ a]\)
ODPOWIEDZ